Théorème d'Hermite-Lindemann

Le théorème d’Hermite-Lindemann affirme que si a est un nombre algébrique non nul (réel ou complexe), alors le nombre e^a est transcendant.

Il fut démontré en 1882 par Ferdinand von Lindemann^[1].

En 1885, Karl Weierstrass en donna une généralisation, connue sous le nom de théorème de Lindemann-Weierstrass.

Une généralisation plus récente est le théorème de Baker.

Énoncé de la contraposée

Si b est un nombre algébrique non nul différent de 1, toutes les déterminations de son logarithme complexe sont transcendantes.

En particulier, si b > 0 et b ≠ 1 est algébrique (par exemple un entier ≥ 2) , alors ln b est transcendant.

Transcendance de e et π

En particulier, e = e¹ est transcendant (résultat montré par Charles Hermite en 1873^[2] : c’est le théorème d’Hermite).

De même, iπ, donc π, sont transcendants puisque e^iπ = –1 est algébrique.

L'approche originelle d'Hermite pour e a été simplifiée et étendue à π par David Hilbert (en 1893)^[3],[4], pour finalement devenir élémentaire grâce à Adolf Hurwitz et Paul Albert Gordan. Pour adapter à π la stratégie pour e, des faits à propos des polynômes symétriques jouent un rôle crucial.

Pour des informations détaillées concernant les démonstrations de la transcendance de e et π, voir les références et les annexes.

Application aux fonctions sinus et cosinus

On déduit du théorème d'Hermite-Lindemann la transcendance de tout nombre non nul t dont le sinus ou le cosinus est algébrique. En effet, compte tenu des formules d'Euler (les relations entre cos(t), sin(t) et e^it), dès que l’un des trois est algébrique, tous trois le sont, en particulier e^it est algébrique, si bien que par contraposée du théorème, le nombre it est transcendant donc t aussi.

On en déduit par exemple que le nombre de Dottie, solution de ${\displaystyle \cos t=t}$ est transcendant.

L'impossible quadrature du cercle

Pierre-Laurent Wantzel avait montré en 1837 que le problème de l'impossibilité de la quadrature du cercle pouvait être déduit de l'hypothétique transcendance du nombre π (voir théorème de Wantzel pour plus de détails). En prouvant que π n’est pas algébrique, Lindemann parvient donc à montrer qu’il est impossible de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un disque donné, résolvant ainsi par la négative l’un des plus anciens problèmes de mathématiques depuis l’Antiquité.

Notes et références

1. (de) F. Lindemann, « Über die Zahl π », Math. Ann., vol. 20,‎ 1882, p. 213-225 (DOI 10.1007/BF01446522, lire en ligne).
2. C. Hermite, « Sur la fonction exponentielle », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 77,‎ 1873, p. 18-24, 74-79, 226-233 et 285-293 (lire en ligne), « en ligne et analysé », sur le site bibnum par Michel Waldschmidt.
3. (de) D. Hilbert, « Ueber die Transcendenz der Zahlen e und π », Math. Ann., vol. 43,‎ 1893, p. 216-219 (lire en ligne).
4. (de) Rudolf Fritsch, « Hilberts Beweis der Transzendenz der Ludolphschen Zahl π », Differentialgeometrie der Mannigfaltigkeiten von Figuren, vol. 34,‎ 2003, p. 144-148 (lire en ligne).

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Alan Baker, Transcendental Number Theory, CUP, 1990 (1^re éd. 1975) (ISBN 978-0-521-39791-9, lire en ligne)
• (de) Rudolf Fritsch, « Transzendenz von e im Leistungskurs? », Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht, vol. 42,‎ 1989, p. 75-80 (lire en ligne)

Liens externes

• (en) « e is transcendental », sur PlanetMath, 22 mars 2013 (consulté le 14 mars 2019) (preuve de la transcendance de e, accompagnée d'une référence bibliographique)
• (en) « Proof of Lindemann-Weierstrass theorem and that e and π are transcendental », sur PlanetMath (démonstration de la transcendance de e et π, puis du théorème de Lindemann-Weierstrass complet, tirée de Baker 1990, p. 4-8 et détaillée)
• Transcendance de e et π pour les nuls (mémoire de licence 1^re année sous la direction d'Alain Prouté, Université Paris-Diderot)