Théorème d'Erdős (théorie des nombres)

En mathématiques, le théorème d'Erdős est un théorème en théorie des nombres. Il revient à l'important mathématicien hongrois Paul Erdős.

Le théorème est lié à une conjecture formulée en 1849 par le mathématicien français Alphonse de Polignac (1817–1890), énonçant que tous les entiers naturels impairs ${\displaystyle n>1}$ possèdent une représentation de la forme ${\displaystyle n=2^{k}+p}$, où ${\displaystyle k}$ est un entier naturel et ${\displaystyle p}$ un nombre premier, ou ${\displaystyle p=1}$.

Grâce à son théorème, Erdős a réussi à démontrer que la conjecture de Polignac est erronée dans de nombreux cas^[1].

Énoncé

Le théorème peut être énoncé comme suit:

Il existe une suite arithmétique composée d'une infinité d'entiers naturels impairs ${\displaystyle n}$, ne s'écrivant pas de la forme ${\displaystyle n=2^{k}+p}$, où ${\displaystyle k}$ est un entier naturel, et ${\displaystyle p}$ un nombre premier ou égal à 1.

Lemme de la démonstration

La démonstration du théorème est basée sur le lemme élémentaire suivant:

Chaque entier naturel ${\displaystyle k}$ respecte au moins l'une de ces six congruences.

(1) ${\displaystyle k\equiv 0\mod 2}$

(2) ${\displaystyle k\equiv 0\mod 3}$

(3) ${\displaystyle k\equiv 1\mod 4}$

(4) ${\displaystyle k\equiv 3\mod 8}$

(5) ${\displaystyle k\equiv 7\mod 12}$

(6) ${\displaystyle k\equiv 23\mod 24}$

Il s'ensuit que pour ${\displaystyle 2^{k}}$ l'une des six autres congruences doit être respectée, à l'aide de laquelle on démontre le théorème d'Erdős en utilisant le théorème des restes chinois.

Bibliographie

• Paul Erdős, On integers of the form 2^k+p and some related problems, vol. 2, 1950, 113–123 p., PDF
• (en) Wacław Sierpiński, Elementary Theory of Numbers, Amsterdam (u.a.), North-Holland, coll. « North-Holland Mathematical Library », 1988, 513 p. (ISBN 0-444-86662-0, lire en ligne)

Références

• (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Satz von Erdős (Zahlentheorie) » (voir la liste des auteurs).

1. Sierpiński: S. 445.