Visualisation bidimensionnelle de la distance de Hamming, une mesure essentielle dans la théorie des codes
En théorie de l'information, la théorie des codes traite des codes et de leurs propriétés et de leurs aptitudes à servir sur différents canaux de communication. On distingue deux modèles de communication : avec et sans bruit. Sans bruit, le codage de source suffit à la communication. Avec bruit, la communication est possible avec les codes correcteurs.
Histoire
En définissant l'information de façon mathématique, l'étape fondatrice de la théorie des codes a été franchie par Claude Shannon. D'autres définitions existent, mais l'entropie de Shannon a été la plus fructueuse. Ainsi, on est apte à répondre aux deux questions fondamentales de la théorie de l'information : quelles sont les ressources nécessaires à la transmission de l'information, et quelle est la quantité d'informations que l'on peut transmettre de façon fiable.
C'est de cette dernière question du codage de canal que traite la théorie des codes. En répondant aux deux questions de base de la théorie de l'information, Shannon n'a justement pas fourni un ensemble très puissant de codes correcteurs. En particulier, il n'a pas déterminé d'exemple de code qui atteint la limite prévue par son théorème du codage de canal.
C'est ce vide que comble la théorie des codes. Il existe de nos jours une multitude de méthodes visant à produire de bons codes correcteurs.
Propriétés des codes
On distingue d'abord les codes par la quantité d'information transmise par un symbole. Le canal binaire symétrique étant le plus commun, on considérera souvent un code binaire. Il existe cependant aussi des codes trinaires et, en général, des codes q-aires.
Les noms de variables suivants sont la plupart du temps, utilisés par convention. est un code contenant mots de code, c'est-à-dire, de dimension M. La longueur d'un mot de code est dénotée par . Un tel code est dit code .
Détection et correction d'erreurs
La plupart des codes s'utilisent soit pour la détection ou la correction d'erreur.
La distance minimale d'un code influe la probabilité d'erreur de décodage. La distance minimale est un paramètre important, dénoté . Un tel code est dit code .
Familles de codes
Codes équivalents
Deux codes sont équivalents si toutes leurs propriétés de correction d'erreur sont les mêmes.
Un code cyclique est un code correcteur qui a davantage de structure que celle d'un espace vectoriel. En général, on peut concevoir les mots de code comme des polynômes. Exemple : le code de Reed-Solomon.
Un code non linéaire est un code correcteur qui peut être construit d'une variété de façons, sans obtenir la structure d'un espace vectoriel.
Il y a un petit nombre de cas spéciaux. Un code trivial est un code qui recopie littéralement le message initial, d'où sa trivialité. Un code systématique est un code pour lequel le message à encoder est inclus dans le message encodé.
Par ailleurs, certains codes correcteurs peuvent être utilisés comme codes quantiques.
Les codes correcteurs peuvent aussi être classés par familles.
Un code de parité ajoute un ou plusieurs bits de parité au message.
Un code de répétition envoie plusieurs copies de chaque bit à être transmis.
Les codes de Hamming forment la famille la plus connue. Les codes de Hamming binaires sont équivalents aux codes cycliques et certains non binaires le sont aussi.
Le but est d'ajouter de l'information redondante à un message pour compenser le bruit sur le canal de communication. Ceci donne lieu au théorème du codage de canal et c'est à celui-ci qu'on doit l'origine de la théorie des codes.
La théorie algébrique des codes est un sous-domaine de la théorie des codes où les propriétés des codes sont exprimées algébriquement. Autrement dit, l'approche est algébrique par opposition à l'approche traditionnelle qui est probabiliste[1]. On y étudie principalement :
la construction de « bons » codes, c'est-à-dire avec certains paramètres souhaitables, tels :
L'analyse de codes est utile pour essayer de décoder un texte chiffré, si le code utilisé est faible (par exemple code de César ou de Vigenère). La détection des caractéristiques statistiques d'un texte permet également de vérifier, même sans en comprendre la langue, si un texte a eu plus d'un auteur (on peut ainsi affirmer que le Papyrus Voynich a eu deux auteurs distincts; voir article correspondant). Elle permet aussi d'analyser des textes de Victor Hugo et, par ces caractéristiques statistiques, de détecter la décennie de leur rédaction. Le Centre Scientifique d'IBM a également étudié les discours de Charles de Gaulle et montré que ces discours s'allongeaient au fil du temps, sauf pour quelques discours "critiques" (comme celui du ). L'université de Stanford a également comparé les vocabulaires respectifs[réf. souhaitée] de Marcel Proust et de Paul Valéry. L'ingénieur Jean-Jacques Walter a également effectué cette analyse sur le texte du coran et a soutenu une thèse d'Etat lui attribuant selon lui aussi plusieurs dizaines d'auteurs (au minimum 30 auteurs différents, probablement 50, au plus 100), au départ dans plusieurs langues, sur une période de deux cents ans[2],[3].
Dans la littérature de fiction, cette théorie sert de pivot au journaliste du MondeRobert Escarpit dans son ouvrage Le Littératron où un spécialiste utilise un ordinateur pour construire à partir de propos relevés dans des conversations de cafés le discours populiste ultime, qui suscite d'abord les quolibets, mais peu à peu montre une efficacité redoutable.
Adam Woryna, « On the proportion of prefix codes in the set of three-element codes », Discrete Mathematics, vol. 343, no 8, , article no 111939 (DOI10.1016/j.disc.2020.111939).
