Théorème de van Kampen

En topologie algébrique, le théorème de van Kampen^[1], également appelé théorème de Seifert-van Kampen, est un résultat permettant de calculer le groupe fondamental d'un espace topologique qui se décompose en deux espaces plus simples dont les groupes fondamentaux respectifs sont déjà connus.

Énoncé

Soient U₁, U₂ des ouverts connexes par arcs ainsi que leur intersection, alors le groupoïde fondamental de U₁∪U₂ est égal à la somme amalgamée^[2],[3] de ceux respectifs de U₁ et U₂ au-dessus de celui de leur intersection :

${\displaystyle \pi (U_{1}\cup U_{2})=\pi (U_{1})*_{\pi (U_{1}\cap U_{2})}\pi (U_{2}),}$

et de même pour les groupes fondamentaux^[4],[5] en un point ${\displaystyle x}$ commun à ces deux ouverts connexes:

${\displaystyle \pi _{1}(U_{1}\cup U_{2},x)=\pi _{1}(U_{1},x){\underset {\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x)}{\bigstar }}\pi _{1}(U_{2},x).}$

Un cas particulier essentiel est celui où U₁∩U₂ est simplement connexe : π₁(U₁∪U₂,x) est alors le produit libre π₁(U₁,x)∗π₁(U₂,x) des groupes fondamentaux de U₁ et U₂.

Par exemple, un tore percé d'un trou est homéomorphe à la réunion de deux cylindres d'intersection simplement connexe. Le théorème de van Kampen montre que son groupe fondamental est ℤ∗ℤ, c'est-à-dire le groupe libre sur deux générateurs. De façon similaire, le groupe fondamental du plan projectif est le groupe à deux éléments.

Cas de deux sous-espaces fermés

Le théorème énoncé ci-dessus reste valide si U₁, U₂ et U₁∩U₂ sont des sous-espaces fermés connexes par arcs^[6].

Soient V₁, V₂ des sous-espaces fermés connexes par arcs qui admettent des revêtements simplement connexes, ainsi que leur intersection, et soit x un point commun à ces deux fermés. Alors le groupe fondamental de V₁∪V₂ en x est égal à la somme amalgamée des groupes fondamentaux de V₁ et V₂ en x au-dessus de celui de leur intersection :

${\displaystyle \pi _{1}(V_{1}\cup V_{2},x)=\pi _{1}(V_{1},x)*_{\pi _{1}(V_{1}\cap V_{2},x)}\pi _{1}(V_{2},x).}$

Notes et références

1. (en) Egbert van Kampen, « On the connection between the fundamental groups of some related spaces », American Journal of Mathematics, vol. 55,‎ 1933, p. 261-267.
2. Michel Zisman, Topologie algébrique élémentaire, A. Colin, 1972.
3. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, p. I.80-84.
4. Régine et Adrien Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions], 2^e éd., p. 252 (la somme amalgamée était appelée produit libre amalgamé dans le tome 2 de la première édition).
5. * André Gramain, Topologie des Surfaces, PUF, 1971, p. 28-30.
6. R. et A. Douady, tome 2, qui suppose que les espaces admettent un revêtement universel pointé.