Théorème de Skolem-Noether

En théorie des anneaux, une branche des mathématiques, le théorème de Skolem–Noether caractérise les automorphismes des anneaux simples. C'est un résultat fondamental de la théorie des algèbres centrales simples.

Le théorème a été d'abord publié par Thoralf Skolem en 1927 dans son article Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme (allemand : Sur la théorie des systèmes de nombres associatifs) et redécouvert indépendamment par Emmy Noether.

Énoncé

Dans sa formulation générale, soient A et B des anneaux simples et soit k le centre de B. Remarquons que k est un corps puisque, pour x élément non nul de k, la simplicité de B entraîne que l'idéal bilatère Bx, qui n'est pas réduit à {0}, est B tout entier, si bien que x est une unité. Supposons de plus que la dimension de B sur k est finie, c'est-à-dire que B est une algèbre centrale simple. Alors, étant donné deux morphismes de k-algèbres

f, g : A → B,

il existe une unité b dans B telle que pour tout a dans A^[1],[2]

g(a) = b · f(a) · b⁻¹.

En particulier, tout automorphisme d'une k-algèbre centrale simple est intérieur^[3],[4].

Preuve

Supposons d'abord que ${\displaystyle B=\operatorname {M} _{n}(k)=\operatorname {End} _{k}(k^{n})}$. Alors, f et g définissent des actions de A sur ${\displaystyle k^{n}}$ ; soit ${\displaystyle V_{f},V_{g}}$ les A-modules ainsi obtenus. Puisqu'ils ont la même dimension, il existe un isomorphisme d'espaces vectoriels ${\displaystyle b:V_{g}\to V_{f}}$. Mais un tel b est nécessairement un élément de ${\displaystyle \operatorname {M} _{n}(k)=B}$. Pour le cas général, remarquons que ${\displaystyle B\otimes B^{\text{op}}}$ est une algèbre de matrices et donc, par la première partie de la preuve, cette algèbre contient un élément b tel que

${\displaystyle (f\otimes 1)(a\otimes z)=b(g\otimes 1)(a\otimes z)b^{-1}}$

pour tous ${\displaystyle a\in A}$ et ${\displaystyle z\in B^{\text{op}}}$. En prenant ${\displaystyle a=1}$, on trouve

${\displaystyle 1\otimes z=b(1\otimes z)b^{-1}}$

pour tout z. En d'autres termes, b appartient à ${\displaystyle Z_{B\otimes B^{\text{op}}}(k\otimes B^{\text{op}})=B\otimes k}$ et l'on peut donc écrire ${\displaystyle b=b'\otimes 1}$. En prenant cette fois ${\displaystyle z=1}$, on trouve

${\displaystyle f(a)=b'g(a){b'^{-1}}}$,

comme on le souhaitait.

Notes

1. Lorenz 2008, p. 173
2. Benson Farb et R. Keith Dennis, Noncommutative Algebra, New York, Springer-Verlag, 1993, 223 p. (ISBN 978-0-387-94057-1)
3. Gille et Szamuely 2006, p. 40
4. Lorenz 2008, p. 174

Références

• (en) Thoralf Skolem, « Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme », Skrifter Oslo, n^o 12,‎ 1927, p. 50 (JFM 54.0154.02)
• Présentation du théorème dans (en) James Milne, Class Field Theory (lire en ligne)
• (en) Philippe Gille et Tamás Szamuely, Central simple algebras and Galois cohomology, Cambridge, CUP, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (n^o 101), 2006, 343 p. (ISBN 0-521-86103-9, zbMATH 1137.12001)
• (en) Falko Lorenz, Algebra, vol. 2 : Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics, New York, Springer, 2008, 336 p. (ISBN 978-0-387-72487-4, zbMATH 1130.12001, lire en ligne)