Test Z

Test Z

Type	Test statistique

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En statistique, un test Z est un terme générique désignant tout test statistique dans lequel la statistique de test suit une loi normale sous l'hypothèse nulle.

Exemple : test sur la moyenne d'une loi normale où la variance est connue

On considère un n-échantillon ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$avec ${\displaystyle X_{i}\sim {\mathcal {N}}(m,\sigma ^{2})}$ et un risque ${\displaystyle \alpha }$.

• Si l'on teste ${\displaystyle H_{0}:m=m_{0}}$

La statistique de test sous l'hypothèse nulle est :

${\displaystyle Z={\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-m_{0}}{\sigma }}}$ qui suit une loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

Si ${\displaystyle |z|}$ , la réalisation de la statistique de test, est supérieur au quantile d'ordre ${\displaystyle 1-{\frac {\alpha }{2}}}$ de la loi ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ alors on rejette l'hypothèse nulle.

• Si l'on teste ${\displaystyle H_{0}:m\leqslant m_{0}}$

Si ${\displaystyle z}$ est supérieur au quantile d'ordre ${\displaystyle 1-\alpha }$ de la loi ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ alors on rejette l'hypothèse nulle.

• Si l'on teste ${\displaystyle H_{0}:m\geqslant m_{0}}$

Si ${\displaystyle z}$ est inférieur au quantile d'ordre ${\displaystyle \alpha }$ de la loi ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ alors on rejette l'hypothèse nulle.

Remarque : si l'on note ${\displaystyle \upsilon _{\alpha }}$ le quantile d'ordre ${\displaystyle \alpha }$ de la loi ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$, alors on a l'égalité ${\displaystyle \upsilon _{\alpha }=-\upsilon _{1-\alpha }}$

Exemple : test sur la proportion d'une loi binomiale

On considère un n-échantillon ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ avec ${\displaystyle X_{i}\sim {\mathcal {B}}(p)}$

• Si l'on teste ${\displaystyle H_{0}:p=p_{0}}$

La statistique de test sous l'hypothèse nulle est :

${\displaystyle Z={\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-p_{0}}{\sqrt {p_{0}(1-p_{0})}}}}$converge en loi vers une loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ quand n tend vers l'infini.

Si ${\displaystyle |z|}$ , la réalisation de la statistique de test, est supérieur au quantile d'ordre ${\displaystyle 1-{\frac {\alpha }{2}}}$ de la loi ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ alors on rejette l'hypothèse nulle.

• Si l'on teste ${\displaystyle H_{0}:p\leqslant p_{0}}$

Si ${\displaystyle z}$ est supérieur au quantile d'ordre ${\displaystyle 1-\alpha }$ de la loi ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ alors on rejette l'hypothèse nulle.

• Si l'on teste ${\displaystyle H_{0}:p\geqslant p_{0}}$

Si ${\displaystyle z}$ est inférieur au quantile d'ordre ${\displaystyle \alpha }$ de la loi ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ alors on rejette l'hypothèse nulle.

Remarque : si l'on note ${\displaystyle \upsilon _{\alpha }}$ le quantile d'ordre ${\displaystyle \alpha }$ de la loi ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$, alors on a l'égalité ${\displaystyle \upsilon _{\alpha }=-\upsilon _{1-\alpha }}$

Notes et références