En mathématiques , une suite harmonique est une suite dont chaque terme est la moyenne harmonique des termes précédent et suivant. Une condition équivalente est que son inverse soit une suite arithmétique .
Une suite harmonique est une suite réelle
(
u
n
)
n
⩾ ⩾ -->
n
0
{\displaystyle (u_{n})_{n\geqslant n_{0}}}
r
{\displaystyle \ r}
raison pour lequel :
∀ ∀ -->
n
⩾ ⩾ -->
n
0
1
u
n
+
1
=
1
u
n
+
r
{\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ {\frac {1}{u_{n+1}}}={\frac {1}{u_{n}}}+r\,}
soit :
∀ ∀ -->
n
⩾ ⩾ -->
n
0
u
n
+
1
=
u
n
r
u
n
+
1
{\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ u_{n+1}={\frac {u_{n}}{ru_{n}+1}}\,}
Il s'agit donc d'une suite homographique .
Par exemple pour
u
0
=
12
,
r
=
1
/
12
{\displaystyle u_{0}=12,r=1/12}
En notant
a
=
1
u
n
0
− − -->
n
0
r
{\displaystyle a={\frac {1}{u_{n_{0}}}}-n_{0}r}
∀ ∀ -->
n
⩾ ⩾ -->
n
0
u
n
=
1
a
+
n
r
{\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ \ u_{n}={\frac {1}{a+nr}}\,}
Dans l'exemple précédent,
u
n
=
12
n
+
1
{\displaystyle u_{n}={\frac {12}{n+1}}}
Autre exemple[ 1]
(
T
n
)
n
∈ ∈ -->
N
∗ ∗ -->
{\displaystyle \left({\frac {T}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}
harmoniques de la fréquence
1
T
{\displaystyle {\frac {1}{T}}}
La relation de définition s'écrit :
∀ ∀ -->
n
⩾ ⩾ -->
n
0
2
u
n
+
1
=
1
u
n
+
1
u
n
+
2
{\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ {\frac {2}{u_{n+1}}}={\frac {1}{u_{n}}}+{\frac {1}{u_{n+2}}}\,}
ce qui donne :
∀ ∀ -->
n
⩾ ⩾ -->
n
0
u
n
+
2
=
u
n
u
n
+
1
2
u
n
− − -->
u
n
+
1
{\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ u_{n+2}={\frac {u_{n}u_{n+1}}{2u_{n}-u_{n+1}}}\,}
Voir aussi
