Star-produit

En physique mathématique, le star-produit^[1] est un opérateur mathématique sur une variété de Poisson pour déformer la multiplication de l'algèbre des fonctions lisses à valeurs complexes en une algèbre associative non commutative.

L'opérateur est une quantification de déformation, une formalisation mathématique de la quantification issue de la physique.

Définitions

Déformation formelle

Soit ${\displaystyle R}$ un anneau commutatif et ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ une algèbre sur un anneau. Soit ${\displaystyle R[[\lambda ]]}$ l'anneau des séries formelles et ${\displaystyle {\mathcal {A}}[[\lambda ]]}$ l'algèbre des séries formelles sur ${\displaystyle R[[\lambda ]]}$ avec les coefficients dans ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

La déformation formelle ${\displaystyle \star }$ de l'opérateur de multiplication ${\displaystyle \cdot }$ de l'algèbre ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est une application ${\displaystyle R[[\lambda ]]}$-bilinéaire^[2]

${\displaystyle \star :{\mathcal {A}}[[\lambda ]]\times {\mathcal {A}}[[\lambda ]]\to {\mathcal {A}}[[\lambda ]]}$

tel que pour tout ${\displaystyle u,v\in {\mathcal {A}}[[\lambda ]]}$

${\displaystyle u\star v=uv\quad \operatorname {mod} \lambda ,}$

et ${\displaystyle uv}$ est la multiplication des séries formelles :

${\displaystyle uv:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}\sum \limits _{k=0}^{n}u_{k}v_{n-k},\quad u_{k},v_{k}\in {\mathcal {A}}}$

Star-produit

Soit ${\displaystyle (M,\pi )}$ une variété de Poisson, où ${\displaystyle \pi }$ est un tenseur de Poisson.

Le star-produit ${\displaystyle \star }$ est une déformation formelle sur ${\displaystyle C^{\infty }(M)[[\lambda ]]}$, c'est-à-dire une multiplication ${\displaystyle \mathbb {C} [[\lambda ]]}$-bilinéaire^[3]

${\displaystyle \star :C^{\infty }(M)[[\lambda ]]\times C^{\infty }(M)[[\lambda ]]\to C^{\infty }(M)[[\lambda ]]}$

de la forme

${\displaystyle f\star g=\sum \limits _{r=0}^{\infty }\lambda ^{r}C_{r}(f,g)}$

et ${\displaystyle C_{r}}$ sont des applications ${\displaystyle \mathbb {C} }$-bilinéaire

${\displaystyle C_{r}:C^{\infty }(M)\times C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)}$

vérifiant les axiomes:

1. ${\displaystyle \star }$ est associative: ${\displaystyle (f\star g)\star h=f\star (g\star h)}$ pour tout ${\displaystyle f,g,h\in C^{\infty }(M)}$.
2. ${\displaystyle C_{0}(f,g)=fg}$.
3. ${\displaystyle C_{1}(f,g)-C_{1}(g,f)=\mathrm {i} \{f,g\}\quad }$ (où ${\displaystyle \{,\}}$ est le crochet de Poisson).
4. ${\displaystyle 1\star f=f=f\star 1}$ pour tout ${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$.

Propriétés

Si les ${\displaystyle C_{r}}$ sont des opérateurs bidifférentiels, ${\displaystyle \star }$ est appelé un star-produit différentiel.

Si les ${\displaystyle C_{r}}$ sont des opérateurs bidifférentiels d'ordre ${\displaystyle r}$ est dans chaque argument, ${\displaystyle \star }$ est appelé un star-produit naturel.

On appelle un ${\displaystyle \star }$ du type Weyl, si ${\displaystyle C_{r}(f,g)=(-1)^{r}C_{r}(g,f)}$ et ${\displaystyle \star }$ est hermitien, c'est-à-dire ${\displaystyle {\overline {f\star g}}={\bar {f}}\star {\bar {g}}}$ (avec la convention ${\displaystyle {\bar {\lambda }}=\lambda }$).

Exemple

• Le produit de Moyal (en) ${\displaystyle \star }$ défini comme

${\displaystyle f\star g:=f(q,p)\exp \left({\frac {\mathrm {i} \hbar }{2}}\left({\overset {\leftarrow }{\partial _{q}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{p}}}-{\overset {\leftarrow }{\partial _{p}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{q}}}\right)\right)g(q,p)}$

pour ${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(\mathbb {R^{2n}} )}$ est un star-produit sur ${\displaystyle M:=\mathbb {R} ^{2n}}$ avec une forme symplectique canonique ${\displaystyle \pi :=\omega }$ et la constante de Planck ${\displaystyle \lambda :=\hbar }$.

Existence

Sur les variétés symplectiques

De Wilde et Lecomte ont prouvé qu'un star-produit différentiel existe sur chaque variété symplectique^[4].

Sur les variétés de Poisson

Maxime Kontsevitch a prouvé que toute variété de Poisson de dimension finie peut être quantifiée, ce qui implique l'existence de star-produits différentiels sur des variétés de Poisson arbitraires^[5].

Littérature

• (en) Chiara Esposito, Formality Theory, Springer Verlag, 2015 (ISBN 978-3-319-09289-8)
• (de) Stefan Waldmann, Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung, Springer Verlag, 2001 (ISBN 978-3-540-72517-6)

Références

1. Joseph Oesterlé, « Quantification formelle des variétés de Poisson », Astérisque, vol. 252, n^o 843,‎ 1998, p. 211-229 (lire en ligne)
2. (en) Chiara Esposito, Formality Theory, Springer Verlag, 2015 (ISBN 978-3-319-09289-8)
3. (de) Stefan Waldmann, Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung, Springer Verlag, 2001 (ISBN 978-3-540-72517-6)
4. (en) Marc de Wilde et Pierre B. A. Lecomte, « Existence of star-products and of formal deformations of the Poisson Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds », Letters in Mathematical Physics, vol. 7, n^o 6,‎ 1^er novembre 1983 (DOI 10.1007/BF00402248)
5. (en) Maxime Kontsevitch, « Deformation Quantization of Poisson Manifolds », Letters in Mathematical Physics, vol. 66, n^o 3,‎ 1^er décembre 2003 (DOI 10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf, arXiv q-alg/9709040v1)