S-matrice (mathématiques)

En mathématiques, une S-matrice est une matrice carrée réelle dont l'image de l'orthant positif intersecte l'intérieur de cet orthant. Ces matrices apportent des propriétés particulières aux problèmes de complémentarité linéaire.

Définitions

Les propriétés équivalentes pouvant servir de définition aux S-matrices requièrent que l'on précise quelques notations et rappelle la définition d'un problème de complémentarité linéaire.

• Pour un vecteur ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, la notation ${\displaystyle x\geqslant 0}$ signifie que toutes les composantes ${\displaystyle x_{i}}$ du vecteur sont positives et la notation ${\displaystyle x>0}$ signifie que toutes les composantes du vecteur sont strictement positives.
• Étant donnés une matrice réelle carrée d'ordre ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ et un vecteur ${\displaystyle q\in \mathbb {R} ^{n}}$, un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ tel que ${\displaystyle x\geqslant 0}$, ${\displaystyle Mx+q\geqslant 0}$ et ${\displaystyle x^{\!\top }(Mx+q)=0}$ (ce qui revient à dire que le produit de Hadamard de ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle Mx+q}$ est nul), ce que l'on écrit de manière abrégée comme suit :
  
  ${\displaystyle {\mbox{CL}}(M,q):\qquad 0\leqslant x\perp (Mx+q)\geqslant 0.}$
  
  

S-matrice — On dit qu'une matrice carrée réelle ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ est une S-matrice si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

1. il existe un ${\displaystyle x\geqslant 0}$ tel que ${\displaystyle Mx>0}$,
2. il existe un ${\displaystyle x>0}$ tel que ${\displaystyle Mx>0}$,
3. ${\displaystyle \forall \,q\in \mathbb {R} ^{n}}$, le problème ${\displaystyle \operatorname {CL} (M,q)}$ est réalisable.

On note ${\displaystyle \mathbf {S} }$ l'ensemble des S-matrices d'ordre quelconque. On appelle S-matricité la propriété d'une matrice d'appartenir à ${\displaystyle \mathbf {S} .}$

La lettre S renvoie à Stiemke^[1].

Annexes

Note

1. Cottle, Pang et Stone (2009), page 140.

Article connexe

• Complémentarité linéaire

Bibliographie

• (en) R. W. Cottle, J.-S. Pang et R. E. Stone, « The linear complementarity problem », Classics in Applied Mathematics, Philadelphia, PA, USA, SIAM, vol. 60,‎ 2009.