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Natif de Dunkerque, Sébastien Bosquet est formé à Dunkerque où il signe son contrat professionnel. Élu meilleur arrière droit du Championnat de France en 2001, il figure ainsi parmi les meilleurs à son poste. Sélectionné pour la première fois en équipe de France en [1], il signe en 2003 un contrat de trois avec le grand club français de Montpellier HB qui vient de remporter la Ligue des champions.
Souvent blessé, il ne bénéfice pas d'un temps de jeu énorme avec la concurrence de Sobhi Sioud[2] et quitte donc le club héraultais après deux saisons ponctuées de deux championnats, d'une Coupe de France et de deux Coupes de la Ligue. En 2005, annoncé un temps au Chambéry Savoie Handball[2], il décide finalement de retourner à Dunkerque avec pour objectif de gagner des trophées avec son club formateur.
Ce choix s'avère payant car il réalise une saison pleine, terminant meilleur buteur du championnat avec 180 buts. De plus, de bons matchs de préparation avec l'équipe de France semblent lui offrir une place de titulaire au poste d'arrière droit pour sa première grande compétition internationale, le Championnat d'Europe 2006 en Suisse. Mais, après un match raté contre l'Espagne en poule, il perd sa place de titulaire et ne marque finalement que 8 buts sur 22 tentatives pour un total d'une heure de jeu[3]. Il remporte toutefois le premier titre de Champion d'Europe de l'équipe de France.
Toujours performant en Championnat de France, il est deux nouvelles fois élu meilleur arrière droit du championnat en 2007 et 2009 et accumule les sélections en équipe de France puisqu'il remporte deux titres de champion du monde en 2009 et 2011 entrecoupés d'un nouveau titre de Champion d'Europe en 2010, mais n'est pas des aventures olympiques en 2008, 2012.