Raúl Rico commence le cyclisme en 2005, à l'âge de sept ou huit ans. Il court à la Fundación Benicadell puis au Club Ciclista Sax dans les catégories de jeunes[3].
En 2015, il remporte notamment le Tour d'Alicante juniors (moins de 19 ans)[4]. Il rejoint ensuite l'équipe Mutua Levante en 2016, pour ses débuts espoirs (moins de 23 ans). Deux ans plus tard, il devient champion d'Andalousie espoirs devant son coéquipier Eusebio Pascual[5].
En 2019, il se classe troisième du Tour de Guadalentín, autre course par étapes du calendrier national[6]. Il obtient également diverses places d'honneur dans des manches de la Coupe d'Espagne amateurs. Après ses performances, il passe professionnel au mois de mai dans l'équipe continentaleVito-Feirense-PNB, au Portugal[3]. En 2020, il intègre l'effectif de W52-FC Porto, l'une des meilleures équipes portugaises.