Préordre de spécialisation

Sur un espace topologique ${\displaystyle X}$, on peut construire un préordre ${\displaystyle \preceq }$ appelé préordre de spécialisation et défini ainsi : pour ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ dans ${\displaystyle X}$,

${\displaystyle x\preceq y\quad {\text{si}}\quad x\in {\overline {\{y\}}}.}$

(où ${\displaystyle {\overline {\;\cdot \;}}}$ dénote l'adhérence d'un ensemble)

La justification que cette relation binaire est bien un préordre est donnée plus bas.

C'est une notion utile dans l'étude des axiomes de séparation, typiquement pour les espaces T₀. Mais notons que pour un espace T₁, cette notion perd son intérêt : la relation en question n'est alors autre que la relation d'égalité...

Autre définition

La relation binaire de l'énoncé est équivalente à celle-ci :

${\displaystyle \forall x,y\in X,\quad \left(x\preceq y\iff {\overline {\{x\}}}\subset {\overline {\{y\}}}\right)}$

Démonstration

Soit ${\displaystyle x,y\in X}$.
(${\displaystyle \Leftarrow }$) : On a ${\displaystyle x\in \{x\}\subset {\overline {\{x\}}}\subset {\overline {\{y\}}}}$. Donc on a ${\displaystyle x\in {\overline {\{y\}}}}$, et donc ${\displaystyle x\preceq y}$.

(${\displaystyle \Rightarrow }$) : Soit ${\displaystyle z\in {\overline {\{x\}}}}$. Supposons ${\displaystyle z\notin {\overline {\{y\}}}}$. Alors posons ${\displaystyle E=X\setminus {\overline {\{y\}}}}$.

• ${\displaystyle E}$ est un voisinage de ${\displaystyle z}$. En effet, ${\displaystyle E}$ est ouvert (comme complémentaire d'un fermé), et il contient trivialement ${\displaystyle z}$.

• On a ${\displaystyle x\notin E}$. En effet, on a par hypothèse ${\displaystyle x\preceq y}$ (et donc ${\displaystyle x\in {\overline {\{y\}}}}$).

On a donc construit un voisinage de ${\displaystyle z}$ ne contenant pas ${\displaystyle x}$, absurde puisqu'on a pris ${\displaystyle z}$ dans ${\displaystyle {\overline {\{x\}}}}$.

Cette seconde définition montre immédiatement que la relation ${\displaystyle \preceq }$ est un préordre (c'est-à-dire qu'elle est réflexive et transitive).

Articles connexes

• Axiomes de séparation (topologie)
• Préordre de spécialisation dans les espaces finis