Problèmes de Smale

En mathématiques, les problèmes de Smale forment une liste de 18 problèmes non résolus en mathématiques, proposée par Steve Smale en 2000^[1]. Smale a donné cette liste en réponse à une demande de Vladimir Arnold, alors président de l'Union mathématique internationale, qui avait proposé à plusieurs mathématiciens de composer une liste de problèmes pour le XXI^e siècle, dans l'esprit de la liste des problèmes de Hilbert. Certains des problèmes de Smale font partie de la liste, établie également en 2000, des problèmes du prix du millénaire.

Liste des problèmes

La table suivante donne une brève description des problèmes et de l'état actuel des recherches ; pour une présentation plus rigoureuse, voir l'article de Smale cité en référence.

#	Formulation	État
1	Hypothèse de Riemann (8^e problème de Hilbert et 1^er problème du prix du millénaire)	Non résolu
2	Conjecture de Poincaré (2^e problème du prix du millénaire)	Démontrée par Grigori Perelman en 2002.
3	Est-ce que P = NP ? (3^e problème du prix du millénaire)	Non résolu
4	Nombre des racines entières des polynômes à une variable	Non résolu
5	Hauteur des solutions des équations diophantiennes	Non résolu
6	En mécanique céleste, le nombre d'équilibres relatifs est-il fini ?	Démontré pour cinq corps par A. Albouy et V. Kaloshin en 2012[2].
7	Distribution optimale de points sur la 2-sphère	Non résolu
8	Utilisation des systèmes dynamiques en économie	Non résolu
9	Le problème d'optimisation linéaire	Non résolu
10	Le « lemme de fermeture » dans le cas discret	Non résolu. Charles Pugh a démontré le lemme dans le cas continu en 1967 ; voir le lemme de fermeture de Pugh (en)
11	Les dynamiques de dimension 1 sont-elles hyperboliques en général ?	Non résolu
12	Centralisateurs des difféomorphismes	Résolu en topologie C^1 par C. Bonatti, S. Crovisier et A. Wilkinson en 2009[3].
13	Le seizième problème de Hilbert	Non résolu
14	Attracteur de Lorenz	Résolu en 2002 par Warwick Tucker, en utilisant l'arithmétique des intervalles[4].
15	Stabilité des solutions des équations de Navier-Stokes (6^e problème du prix du millénaire)	Non résolu
16	Conjecture du jacobien (ou conjecture de Dixmier, qui lui est équivalente)	Non résolu
17	Résolution des équations polynomiales en temps moyen polynomial	Résolu entre 2008 et 2016. Carlos Beltrán Alvarez et Luis Miguel Pardo, construisirent un algorithme probabiliste de complexité polynomiale en moyenne[5]. Felipe Cucker et Peter Bürgisser, utilisant une « analyse lisse » d'un algorithme probabiliste analogue au précédent, obtinrent[6] un algorithme déterministe en temps ${\displaystyle N^{O(\log \log N)}}$. Finalement, utilisant une autre méthode, Pierre Lairez exhiba une version déterministe du premier algorithme, conservant cette fois la complexité polynomiale en moyenne[7]. Tous ces résultats font suites aux travaux fondateurs de Shub et Smale sur les séries de Bézout[8].
18	Limites de l'intelligence	Non résolu

Notes et références

1. (en) Steve Smale, « Mathematical problems for the next century », Mathematics: frontiers and perspectives, Providence, RI, American Mathematics Society,‎ 2000, p. 271-294 (lire en ligne)
2. (en) A. Albouy, V. Kaloshin, « Finiteness of central configurations of five bodies in the plane », Annals of Mathematics, vol. 176,‎ 2012, p. 535–588
3. (en) C. Bonatti, S. Crovisier, A. Wilkinson, « The C¹-generic diffeomorphism has trivial centralizer », Publ. Math. IHES, vol. 109,‎ 2009, p. 185-244
4. (en) Warwick Tucker, « A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem », Foundations of Computational Mathematics, vol. 2, n^o 1,‎ 2002, p. 53-117 (DOI 10.1007/s002080010018, lire en ligne)
5. (en) Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo, « On Smale's 17th Problem: A Probabilistic Positive answer », Foundations of Computational Mathematics (journal), vol. 8, n^o 1,‎ 2008, p. 1-43 (DOI 10.1007/s10208-005-0211-0, lire en ligne)
6. (en) Felipe Cucker, Peter Bürgisser, « Solving Polynomial Equations in Smoothed Polynomial Time and a Near Solution to Smale's 17th Problem », Proc. 42nd ACM Symposium on Theory of Computing,‎ 2010 (lire en ligne)
7. Pierre Lairez, « A deterministic algorithm to compute approximate roots of polynomial systems in polynomial average time », Foundations of Computational Mathematics, vol. to appear,‎ 2016
8. Michael Shub et Stephen Smale, « Complexity of Bézout's theorem. I. Geometric aspects », J. Amer. Math. Soc., vol. 6, n^o 2,‎ 1993, p. 459–501 (DOI 10.2307/2152805, JSTOR 2152805).

Sources

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Smale's problems » (voir la liste des auteurs).
• (en) Eric W. Weisstein, « Smale's Problems », sur MathWorld