En analyse mathématique, le problème des moments est un problème inverse consistant à reconstruire une mesure réelle sur un intervalle donné à partir de ses moments. Plus concrètement, étant donnés un intervalle réel I et une suite (mn) de réels, on peut se demander s'il existe sur I une mesure de Borel (donc positive) μ telle que pour tout entier naturel n,
et, le cas échéant, si une telle mesure est unique. Si cette mesure existe, elle représente alors la loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle dont les moments sont les nombres mn.
On peut noter plusieurs variantes du « problème des moments » selon la forme de l’intervalle :
L'existence d'une mesure de Borel μ sur R {\displaystyle \mathbb {R} } répondant au problème équivaut à la condition de positivité suivante sur la suite (mn) : les matrices de Hankel Hn associées à cette suite, définies par
doivent être toutes positives.
Pour l'existence d'une mesure de Borel à support dans un segment donné [a,b], il existe une condition nécessaire et suffisante de forme similaire.
Réciproquement, si cette condition est vérifiée alors, d'après le théorème de prolongement de M. Riesz, φ s'étend en une forme linéaire positive sur l'espace de fonctions continues C([a,b]).
Pour plus de détails, voir Shohat et Tamarkin 1943, Akhiezer 1965 et Krein et Nudelman 1977.
On démontre (par changement de variable) que pour tout entier naturel n, ∫ ∫ --> 0 + ∞ ∞ --> x n f ( x ) sin --> ( 2 π π --> ln --> x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }x^{n}f(x)\sin(2\pi \ln x)\,\mathrm {d} x=0} .
Pour tout α α --> ∈ ∈ --> R {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } , on définit g α α --> : ] 0 , + ∞ ∞ --> [ → → --> R {\displaystyle g_{\alpha }:\left]0,+\infty \right[\to \mathbb {R} } par g α α --> ( x ) = f ( x ) [ 1 + α α --> sin --> ( 2 π π --> ln --> x ) ] {\displaystyle g_{\alpha }(x)=f(x)\,\left[1+\alpha \sin(2\pi \ln x)\right]} .
Alors : quels que soient α α --> ∈ ∈ --> R {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } et n ∈ ∈ --> N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , m n ( g α α --> ) = m n ( f ) {\displaystyle m_{n}(g_{\alpha })=m_{n}(f)} , bien que g α α --> ≠ ≠ --> f {\displaystyle g_{\alpha }\neq f} dès que α α --> ≠ ≠ --> 0 {\displaystyle \alpha \neq 0} .
Or si l'on prend α α --> ∈ ∈ --> [ − − --> 1 , 1 ] {\displaystyle \alpha \in \left[-1,1\right]} , g α α --> {\displaystyle g_{\alpha }} est à valeurs positives donc (puisque m 0 ( g α α --> ) = m 0 ( f ) = 1 {\displaystyle m_{0}(g_{\alpha })=m_{0}(f)=1} ) c'est une densité de probabilité.
Théorème de Bernstein sur les fonctions totalement monotones
(en) Eric W. Weisstein, « Moment Problem », sur MathWorld
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, on définit ![{\displaystyle g_{\alpha }:\left]0,+\infty \right[\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/810ccc3b9aef41e5dab80f284d8a6997ae228758)
par ![{\displaystyle g_{\alpha }(x)=f(x)\,\left[1+\alpha \sin(2\pi \ln x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6756111337b85e582fcbaef71eaa46fce5b24d0)
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et 
, 
, bien que 
dès que 
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![{\displaystyle \alpha \in \left[-1,1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5401c921b1af91163fd9cea63608727520d9c04)
, 
est à valeurs positives donc (puisque 
) c'est une densité de probabilité.
![{\displaystyle f:\left]0,+\infty \right[\to \mathbb {R} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/141ea97ec648cc9c295e6532fe4ec586825558fd)
