Polynômes orthogonaux multiples

Les polynômes orthogonaux multiples (POM) sont des polynômes orthogonaux dans une variable qui satisfait le critère d'orthogonalité par rapport à une famille finie de mesures ${\displaystyle \mu _{1},\dots ,\mu _{r}}$. Ils ne doivent pas être confondus avec les polynômes orthogonaux à plusieurs variables, les polynômes orthogonaux multivariables. Les polynômes sont divisés en deux classes appelées type 1 et type 2.

Dans la littérature, les polynômes orthogonaux multiples sont également appelés ${\displaystyle d}$-polynômes orthogonaux, polynômes de Hermite-Padé^[1] ou polynômes polyorthogonaux^[2].

Polynômes orthogonaux multiples

Soit ${\displaystyle {\vec {n}}=(n_{1},\dots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}}$ un multi-indice et ${\displaystyle \mu _{1},\dots ,\mu _{r}}$ sont measures positives aux nombres réels. Comme d'habitude, ${\displaystyle |{\vec {n}}|:=n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}}$.

POM de type 1

Les polynômes de type 1 sont notés comme ${\displaystyle A_{{\vec {n}},j}}$ pour ${\displaystyle j=1,2,\dots ,r}$ et écrits comme a vecteur ${\displaystyle (A_{{\vec {n}},1},A_{{\vec {n}},2},\dots ,A_{{\vec {n}},r})}$, où le ${\displaystyle j}$ème polynôme ${\displaystyle A_{{\vec {n}},j}}$ peut être au plus de degré ${\displaystyle n_{j}-1}$. De plus, ils doivent vérifier :

${\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\int _{\mathbb {R} }x^{k}A_{{\vec {n}},j}d\mu _{j}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,|{\vec {n}}|-2,}$

et

${\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\int _{\mathbb {R} }x^{|{\vec {n}}|-1}A_{{\vec {n}},j}d\mu _{j}(x)=1.}$

On a donc un système d'équations ${\displaystyle |{\vec {n}}|}$ pour les ${\displaystyle |{\vec {n}}|}$ coefficients des polynômes ${\displaystyle A_{{\vec {n}},1},A_{{\vec {n}},2},\dots ,A_{{\vec {n}},r}}$ défini.

POM de type 2

Un polynôme ${\displaystyle P_{\vec {n}}(x)}$ est de type 2 s'il est monique et de degré ${\displaystyle |{\vec {n}}|}$ et le critère d'orthogonalité suivant est rempli :

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{j}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{j}-1,\qquad j=1,\dots ,r.}$

Remarques

Si on écrit toutes les équations ${\displaystyle j=1,\dots ,r}$, on obtient la définition suivante du POM de type 2

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{1}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{1}-1}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{2}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{2}-1}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{r}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{r}-1}$

Bibliographie

• (en) Mourad E.H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, 2005 (ISBN 9781107325982), chap. 23.
• (en) Andrei Martinez-Finkelshtein et Walter Van Assche, WHAT IS... A Multiple Orthogonal Polynomial, vol. 63, 2016, p. 1029-1031.
• (en) Walter Van Assche et Els Coussement, Some classical multiple orthogonal polynomials, vol. 127, Elsevier, 2001 (DOI 10.1016/s0377-0427(00)00503-3), chap. 1-2, p. 317-347.

Références

1. (en) Adam Doliwa et Artur Siemaszko, « Hermite–Padé approximation and integrability », Journal of Approximation Theory, vol. 292,‎ août 2023 (DOI 10.1016/j.jat.2023.105910)
2. (en) Mourad E.H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, 2005 (ISBN 9781107325982).