Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. En mathématiques , un polynôme secondaire est une expression mathématique apparentant au groupe des polynômes .
On se place sur l'espace de Hilbert
L
2
(
I
,
R
,
ρ ρ -->
)
{\displaystyle L^{2}(I,\mathbb {R} ,\rho )}
I
{\displaystyle I}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
ρ ρ -->
{\displaystyle \rho }
densité de la mesure .
Les polynômes secondaires associés aux polynômes orthogonaux
(
P
n
)
n
∈ ∈ -->
N
{\displaystyle \left(P_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}
(
Q
n
)
n
∈ ∈ -->
N
{\displaystyle \left(Q_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}
Q
n
(
X
)
=
∫ ∫ -->
I
P
n
(
t
)
− − -->
P
n
(
X
)
t
− − -->
X
ρ ρ -->
(
t
)
d
t
{\displaystyle Q_{n}(X)=\int _{I}{\frac {P_{n}(t)-P_{n}(X)}{t-X}}\rho (t){\text{d}}t}
Ces polynômes ne sont plus orthogonaux, mais suivent la même relation de récurrence que les
P
n
{\displaystyle P_{n}}
si
P
n
{\displaystyle P_{n}}
P
n
(
X
)
=
α α -->
n
X
n
+
α α -->
n
− − -->
1
X
n
− − -->
1
+
⋯ ⋯ -->
+
α α -->
1
X
+
α α -->
0
{\displaystyle P_{n}(X)=\alpha _{n}X^{n}+\alpha _{n-1}X^{n-1}+\cdots +\alpha _{1}X+\alpha _{0}}
alors la relation de récurrence est :
X
P
n
(
X
)
=
α α -->
n
α α -->
n
+
1
P
n
+
1
(
X
)
+
(
β β -->
n
α α -->
n
− − -->
β β -->
n
+
1
α α -->
n
+
1
)
P
n
(
X
)
+
α α -->
n
− − -->
1
|
|
P
n
|
|
2
α α -->
n
|
|
P
n
− − -->
1
|
|
2
P
n
− − -->
1
(
X
)
{\displaystyle XP_{n}(X)={\frac {\alpha _{n}}{\alpha _{n+1}}}P_{n+1}(X)+\left({\frac {\beta _{n}}{\alpha _{n}}}-{\frac {\beta _{n+1}}{\alpha _{n+1}}}\right)P_{n}(X)+{\frac {\alpha _{n-1}||P_{n}||^{2}}{\alpha _{n}||P_{n-1}||^{2}}}P_{n-1}(X)}
Voir aussi
Les polynômes secondaires sont à la base de la théorie des mesures secondaires .
