Polynôme réciproque

En mathématiques, le polynôme réciproque d'un polynôme à coefficients complexes

${\displaystyle P(X)=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots +a_{n}X^{n}}$

est le polynôme P* défini par :

${\displaystyle P^{*}(X)={\overline {a}}_{n}+{\overline {a}}_{n-1}X+\ldots +{\overline {a}}_{0}X^{n}~,}$

où ${\displaystyle {\overline {a}}}$ désigne le conjugué de ${\displaystyle a}$. Pour tout nombre complexe z non nul, on a donc :

${\displaystyle P^{*}(z)=z^{n}{\overline {P({\bar {z}}^{-1})}}~.}$

Un polynôme est dit réciproque lorsqu'il est égal à son polynôme réciproque.

Si les coefficients a_i sont réels, cette définition équivaut à a_i = a_n−i. Dans ce cas, P est aussi appelé un polynôme palindromique (en).

Le polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ d'un nombre algébrique de module 1 est égal ou opposé à son polynôme réciproque.

Démonstration

Soient ${\displaystyle \beta }$ un nombre algébrique de module 1 et

${\displaystyle P(X)=a_{0}+a_{1}X+\ldots +a_{n-1}X^{n-1}+X^{n}}$

son polynôme minimal sur ${\displaystyle {}^{\mathbb {Q} }}$. Son polynôme réciproque,

${\displaystyle P^{*}(X)=1+a_{n-1}X+\ldots +a_{1}X^{n-1}+a_{0}X^{n},}$

admet ${\displaystyle \beta }$ pour racine puisque

${\displaystyle P^{*}(\beta )=\beta ^{n}P(1/\beta )=\beta ^{n}P({\overline {\beta }})=\beta ^{n}{\overline {P(\beta )}}=\beta ^{n}.0=0.}$

Par conséquent, il existe un rationnel ${\displaystyle \lambda }$ tel que ${\displaystyle P^{*}=\lambda P}$. Dans cette égalité, le coefficient dominant et le terme constant sont : ${\displaystyle a_{0}=\lambda }$ et ${\displaystyle 1=\lambda a_{0}}$. On en déduit que

${\displaystyle P^{*}=a_{0}P\quad {\text{et}}\quad a_{0}=\pm 1.}$

Une conséquence est que les polynômes cyclotomiques Φ_n sont palindromiques pour n > 1 ; ceci est utilisé dans le crible sur les corps de nombres particuliers pour factoriser des nombres de la forme x¹¹ ± 1, x¹³ ± 1, x¹⁵ ± 1 et x²¹ ± 1 en profitant des facteurs polynomiaux de degrés respectifs 5, 6, 4 et 6 - remarquons que l'indicatrice d'Euler des exposants vaut 10, 12, 8 et 12.

L'application P ↦ P^* est une involution :

${\displaystyle \left(P^{*}\right)^{*}=P.}$

Réduction

L'application qui à un polynôme P associe son polynôme aux inverses est diagonalisable, et de valeurs propres 1 et -1 (il suffit de vérifier que le polynôme X² - 1 l'annule). En particulier, si le degré de P est pair, la dimension des deux sous-espaces propres de l'involution est identique, égale à n/2. Si le degré de P est impair, en notant n = 2p + 1, alors :

${\displaystyle \dim {E_{+1}(*)}=p+1\quad {\text{et}}\quad \dim {E_{-1}(*)}=p.}$

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Reciprocal polynomial » (voir la liste des auteurs).

Références

Émile Durand (1961) Solutions numériques des équations algrébriques I, Masson et Cie: XV - polynômes dont les coefficients sont symétriques ou antisymétriques, p. 140-141.