Polynôme osculateur

Approximations polynomiales du logarithme népérien en 1 de degrés 1, 2, 3 et 10.

Approximations polynomiales de la fonction sinus en 0 de degrés 1, 3, 5 et 7.

En analyse, un polynôme osculateur ou osculatoire est un polynôme fournissant une « bonne approximation » d'une fonction.

Définition

Considérons ƒ une fonction réelle n fois dérivable en un point x₀. Le polynôme p est dit osculatoire si

${\displaystyle \forall i\in 0,...,n,p^{(i)}(x_{0})=f^{(i)}(x_{0})}$

En particulier, pour n = 2, on constate donc que le polynôme est tangent et a la même courbure que ƒ en x₀.

Formule

Le polynôme osculateur de degré minimal est donc son polynôme de Taylor :

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}\,(x-x_{0})^{i}=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}\,(x-x_{0})+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}\,(x-x_{0})^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}\,(x-x_{0})^{n}}$

Cependant, pour tout polynôme Q, tout polynôme de la forme

${\displaystyle p_{1}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}\,(x-x_{0})^{i}+(x-x_{0})^{n+1}Q(x)}$

est également osculateur.

Applications

Un polynôme osculateur peut remplacer localement une fonction ƒ. Cela permet d'avoir une fonction plus facile à manipuler.

Voir aussi

Articles connexes

• Développement limité
• Théorème de Taylor
• Cercle osculateur
• Interpolation polynomiale, Interpolation d'Hermite, Spline
• Régression polynomiale