Polynôme de Zernike

Tracés des 21 premiers polynômes de Zernike sur le disque unité, classés verticalement par degré radial et horizontalement par degré azimutal

Les polynômes de Zernike sont une suite de polynômes orthogonaux à 2 variables définis sur le disque unité. Ils portent le nom de Frits Zernike ; ils jouent un rôle important en imagerie.

Définition des polynômes

Les polynômes de Zernike se divisent en deux catégories : les polynômes pairs et les polynômes impairs. Les polynômes pairs s'expriment sous la forme :

${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )\!}$

et les polynômes impairs s'écrivent :

${\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi ),\!}$

où m et n sont des nombres entiers naturels non nuls, avec n ≥ m, φ est l'angle d'azimut exprimé en radians, et ρ est la distance radiale normalisée. Les polynômes radiaux Rm
n sont définis par :

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\left({\tfrac {n+m}{2}}-k\right)!\left({\tfrac {n-m}{2}}-k\right)!}}\;\rho ^{n-2k}}$

ou

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {\Gamma (n+1){}_{2}F_{1}(-{\frac {1}{2}}(|m|+n),{\frac {1}{2}}(|m|-n);-n;\rho ^{-2})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}(2+n+m))\Gamma ({\frac {1}{2}}(2+n-m))}}\rho ^{n}}$

pour n − m pair, et sont égaux à 0 pour n − m impair.

Pour m = 0, le polynôme se réduit à R0
n(ρ).

Interprétation en imagerie

Si l’on considère une onde lumineuse ayant traversé un système imparfait, le front d’onde en sortie du système n’est pas totalement plat : on définit la fonction de déphasage Φ qui à tout point d’un plan de front associe le déphasage entre l’onde lumineuse théorique dans le modèle de l’optique géométrique et l’onde lumineuse réelle en tenant compte des défauts, et qui serait égale à la fonction nulle si le système était parfait.

Il est alors possible d’approximer cette phase dite aberrante en tant que combinaison linéaire de polynômes de Zernike, chacun des polynômes de la base considérée correspondant à une catégorie d’aberration différente.

Ainsi, en optique adaptative, il est possible d’utiliser un analyseur de front d’onde couplé à un système informatique capable de calculer Φ et sa décomposition en polynômes de Zernike en temps réel afin de connaître à tout instant la nature des aberrations du système étudié et éventuellement de les corriger à l’aide d’un miroir déformable (système en boucle fermée).

Cas particuliers

Polynômes radiaux

Les premiers polynômes radiaux sont (avec l’aberration géométrique associée) :

${\displaystyle R_{0}^{0}(\rho )=1}$ : piston, correspondant à une image parfaite ;

${\displaystyle R_{1}^{1}(\rho )=\rho }$ : inclinaison sur l’axe des abscisses (tilt X) ou des ordonnées (tilt Y) ;

${\displaystyle R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1}$ : erreur de mise au point ou de focalisation ;

${\displaystyle R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}}$ : astigmatisme à 0 (sur X) ou π/2 (sur Y) radians ;

${\displaystyle R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho }$ : aberration de coma ;

${\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}}$ ;

${\displaystyle R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1}$ : aberration de sphéricité ;

${\displaystyle R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}}$ ;

${\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}}$ ;

${\displaystyle R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho }$ ;

${\displaystyle R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}}$ ;

${\displaystyle R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}}$ ;

${\displaystyle R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1}$ ;

${\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2}}$ ;

${\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}}$ ;

${\displaystyle R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}}$.

Polynômes de Zernike

Les premiers modes de Zernike, avec les indices simples OSA/ANSI et Noll, sont présentés ci-dessous. Ils sont normalisés de telle sorte que : ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}Z^{2}\cdot \rho \,{\rm {d}}\rho \,{\rm {d}}\phi =\pi }$.

${\displaystyle Z_{n}^{m}}$	Indices OSA/ANSI (${\displaystyle j}$)	Indice Noll (${\displaystyle j}$)	Indice Wyant(${\displaystyle j}$)	Indice Fringe/UA (${\displaystyle j}$)	Degré radial (${\displaystyle n}$)	Degré azimutal (${\displaystyle m}$)	${\displaystyle Z_{j}}$	Nom classique
${\displaystyle Z_{0}^{0}}$	00	01	00	01	0	00	${\displaystyle 1}$	Piston (voir loi du demi-cercle)
${\displaystyle Z_{1}^{-1}}$	01	03	02	03	1	−1	${\displaystyle 2\rho \sin \phi }$	Tilt (Y-Tilt, tilt vertical)
${\displaystyle Z_{1}^{1}}$	02	02	01	02	1	+1	${\displaystyle 2\rho \cos \phi }$	Tip (X-Tilt, tilt horizontal)
${\displaystyle Z_{2}^{-2}}$	03	05	05	06	2	−2	${\displaystyle {\sqrt {6}}\rho ^{2}\sin 2\phi }$	Astigmatisme oblique
${\displaystyle Z_{2}^{0}}$	04	04	03	04	2	00	${\displaystyle {\sqrt {3}}(2\rho ^{2}-1)}$	Defocus (direction longitudinale)
${\displaystyle Z_{2}^{2}}$	05	06	04	05	2	+2	${\displaystyle {\sqrt {6}}\rho ^{2}\cos 2\phi }$	Astigmatisme vertical
${\displaystyle Z_{3}^{-3}}$	06	09	10	11	3	−3	${\displaystyle {\sqrt {8}}\rho ^{3}\sin 3\phi }$	Trefoil vertical
${\displaystyle Z_{3}^{-1}}$	07	07	07	08	3	−1	${\displaystyle {\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\sin \phi }$	Coma verticale
${\displaystyle Z_{3}^{1}}$	08	08	06	07	3	+1	${\displaystyle {\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\cos \phi }$	Coma horizontale
${\displaystyle Z_{3}^{3}}$	09	10	09	10	3	+3	${\displaystyle {\sqrt {8}}\rho ^{3}\cos 3\phi }$	Trefoil oblique
${\displaystyle Z_{4}^{-4}}$	10	15	17	18	4	−4	${\displaystyle {\sqrt {10}}\rho ^{4}\sin 4\phi }$	Quadrafoil oblique
${\displaystyle Z_{4}^{-2}}$	11	13	12	13	4	−2	${\displaystyle {\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\sin 2\phi }$	Astigmatisme oblique secondaire
${\displaystyle Z_{4}^{0}}$	12	11	08	09	4	00	${\displaystyle {\sqrt {5}}(6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1)}$	Aberration de sphéricité
${\displaystyle Z_{4}^{2}}$	13	12	11	12	4	+2	${\displaystyle {\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\cos 2\phi }$	Astigmatisme vertical secondaire
${\displaystyle Z_{4}^{4}}$	14	14	16	17	4	+4	${\displaystyle {\sqrt {10}}\rho ^{4}\cos 4\phi }$	Quadrafoil vertical

Application à la conception optique

Les polynômes de Zernike sont utilisés notamment dans les aberromètres, afin de mesurer les aberrations optiques de l'œil humain (dont, entre autres, l'astigmatisme)^[1],[2].

Notes et références

1. (en) RA Applegate, Thibos, LN et Hilmantel, G, « Optics of aberroscopy and super vision. », Journal of cataract and refractive surgery, vol. 27, n^o 7,‎ juillet 2001, p. 1093–107 (PMID 11489582, DOI 10.1016/s0886-3350(01)00856-2)
2. (en) LN Thibos, Applegate, RA, Schwiegerling, JT et Webb, R, « Report from the VSIA taskforce on standards for reporting optical aberrations of the eye. », Journal of refractive surgery (Thorofare, N.J. : 1995), vol. 16, n^o 5,‎ sep–oct 2000, S654-5 (PMID 11019893)

Annexes

Bibliographie

• Born and Wolf, "Principles of Optics", Oxford: Pergamon, 1970.
• Eric W. Weisstein et al., "Zernike Polynomial", at MathWorld.
• C. E. Campbell, "Matrix method to find a new set of Zernike coefficients form an original set when the aperture radius is changed", J. Opt. Soc. Am. A 20 (2003) 209.
• C. Cerjan, "The Zernike-Bessel representation and its application to Hankel transforms", J. Opt. Soc. Am. A 24 (2007) 1609.
• S. A. Comastri, L. I. Perez, G. D. Perez, G. Martin and K. Bastida Cerjan, "Zernike expansion coefficients: rescaling and decentering for different pupils and evaluation of corneal aberrations", J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 9 (2007) 209.
• G. Conforti, "Zernike aberration coefficients from Seidel and higher-order power-series coefficients", Opt. Lett. 8 (1983) 407.
• G-m. Dai and V. N. Mahajan, "Zernike annular polynomials and atmospheric turbulence", J. Opt. Soc. Am. A 24 (2007) 139.
• G-m. Dai, "Scaling Zernike expansion coefficients to smaller pupil sizes: a simpler formula", J. Opt. Soc. Am. A 23 (2006) 539.
• J. A. Díaz, J. Fernández-Dorado, C. Pizarro, and J. Arasa, "Zernike Coefficients for Concentric, Circular, Scaled Pupils: An Equivalent Expression," Journal of Modern Optics, 56(1), 2009 pp. 149–155.
• J. A. Díaz and J. Fernández-Dorado,"Zernike Coefficients for Concentric, Circular, Scaled Pupils" from The Wolfram Demonstrations Project.
• J. Herrmann, "Cross coupling and aliasing in modal wave-front estimation", J. Opt. Soc. Am. 71 (1981) 989.
• P. H. Hu, J. Stone and T. Stanley, "Application of Zernike polynomials to atmospheric propagation problems", J. Opt. Soc. Am. A 6 (1989) 1595.
• E. C. Kintner, "On the mathematical properties of the Zernike Polynomials", Opt. Acta 23 (1976) 679.
• G. N. Lawrence and W. W. Chow, "Wave-front tomography by Zernike Polynomial decomposition", Opt. Lett. 9 (1984) 287.
• L. Lundstrom and P. Unsbo, "Transformation of Zernike coefficients: scaled, translated and rotate wavefronts with circular and elliptical pupils", J. Opt. Soc. Am. A 24 (2007) 569.
• V. N. Mahajan, "Zernike annular polynomials for imaging systems with annular pupils", J. Opt. Soc. Am. 71 (1981) 75.
• R. J. Mathar, "Third Order Newton's Method for Zernike Polynomial Zeros", arXiv:math.NA/0705.1329.
• R. J. Mathar, "Zernike Basis to Cartesian Transformations", arXiv:0809.2368 math-ph.
• R. J. Noll, "Zernike polynomials and atmospheric turbulence", J. Opt. Soc. Am. 66 (1976) 207.
• A. Prata Jr and W. V. T. Rusch, "Algorithm for computation of Zernike polynomials expansion coefficients", Appl. Opt. 28 (1989) 749.
• J. Schwiegerling, "Scaling Zernike expansion coefficients to different pupil sizes", J. Opt. Soc. Am. A 19 (2002) 1937.
• C. J. R. Sheppard, S. Campbell and M. D. Hirschhorn, "Zernike expansion of separable functions in Cartesian coordinates", Appl. Opt. 43 (2004) 3963.
• H. Shu, L. Luo, G. Han and J.-L. Coatrieux, "General method to derive the relationship between two sets of Zernike coefficients corresponding to different aperture sizes ", J. Opt. Soc. Am. A 23 (2006) 1960.
• W. Swantner and W. W. Chow, "Gram-Schmidt orthogonalization of Zernike polynomials for general aperture shapes", Appl. Opt. 33 (1994) 1832.
• W. J. Tango, "The circle polynomials of Zernike and their application in optics", Appl. Phys. A 13 (1977) 327.
• R. K. Tyson, "Conversion of Zernike aberration coefficients to Seidel and higher-order power series aberration coefficiets", Opt. Lett. 7 (1982) 262.
• J. Y. Wang and D. E. Silva, "Wave-front interpretation with Zernike Polynomials", Appl. Opt. 19 (1980) 1510.
• R. Barakat, "Optimum balanced wave-front aberrations for radially symmetric amplitude distributions: Generalizations of Zernike polynomials", J. Opt. Soc. Am. 70 (1980) 739.
• A. B. Bhatia and E. Wolf, "The Zernike circle polynomials occurring in diffraction theory", Proc. Phys. Soc. B 65 (1952) 909.
• T. A. ten Brummelaar, Modeling atmospheric wave aberrations and astronomical instrumentation using the polynomials of Zernike, Opt. Commun. 132 (1996) 329.
• M. Novotni, R. Klein, "3D Zernike Descriptors for Content Based Shape Retrieval", in proceedings of The 8th ACM Symposium on Solid Modeling and Applications June 2003.
• M. Novotni, R. Klein, "Shape retrieval using 3D Zernike descriptors", in Computer Aided Design, Vol. 36, No. 11, pages 1047-1062, 2004.

Articles connexes

• Suite de polynômes orthogonaux

Liens externes

• (en) The Extended Nijboer-Zernike website.
• (en) « Cross-expansions in terms of powers and Jacobi Polynomials. »^{(Archive.org • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?)} (consulté le 12 septembre 2018)