Polynôme de Lommel

Les polynômes de Lommel, R_m,ν(z), introduits par Eugen von Lommel en 1871, sont des polynômes en 1/z vérifiant la relation suivante:

${\displaystyle \displaystyle J_{m+\nu }(z)=J_{\nu }(z)R_{m,\nu }(z)-J_{\nu -1}(z)R_{m-1,\nu +1}(z)}$

où J_ν(z) est la fonction de Bessel du premier ordre.

Ils sont donnés explicitement par

${\displaystyle R_{m,\nu }=\sum _{n=0}^{[m/2]}{\frac {(-1)^{m}(m-n)!\Gamma (\nu +m-n)}{n!(m-2n)!\Gamma (\nu +n)}}(z/2)^{2n-m}.}$

où Γ désigne la fonction gamma. Ils sont utilisés en tant qu'outil de démonstration en théorie de la transcendance.

Voir aussi

• Fonction de Lommel (en)
• Polynôme de Neumann

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lommel polynomial » (voir la liste des auteurs).
• (en) Arthur Erdélyi (en), Wilhelm Magnus, Fritz Oberhettinger (de) et Francesco Tricomi, Higher transcendental functions. Vol II, New York-Toronto-London, McGraw-Hill Book Company, 1953, lien Math Reviews
• (en) A. B. Ivanov, « Lommel polynomial », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• (de) Eugen von Lommel, « Zur Theorie der Bessel'schen Functionen », Mathematische Annalen, vol. 4, n^o 1,‎ 1871, p. 103–116 (lire en ligne)