En mathématiques, les polynômes de Bessel sont une suite de polynômes orthogonaux. Il en existe plusieurs définitions, mais toutes liées. La définition la plus courante est celle donnée par la somme[1]:
Une autre définition, préférée dans le traitement du signal, est parfois appelée polynômes de Bessel inverses[2],[3] :
Les coefficients de la deuxième définition sont les mêmes que dans la première, mais l'ordre des monômes est inversé. On a ainsi, par exemple pour l'ordre 3 :
Cette deuxième famille est utilisée dans la conception des filtres de Bessel.
Propriétés
Définition en termes de fonctions de Bessel
Un polynôme de Bessel peut aussi être défini à partir des fonctions de Bessel, dont les polynômes tirent leur nom :
Les polynômes de Bessel, avec un décalage d'indice, ont pour fonction génératrice
En dérivant selon t et en annulant x, on obtient la fonction génératrice pour les polynômes
Une fonction génératrice similaire existe pour les [1]:106:
En posant t = z-xz2/2, on trouve l'expression de la fonction exponentielle :
Formules de récurrence
Une définition utilisée plus couramment pour le calcul des valeurs des polynômes de Bessel est la formule de récurrence :
et
Équation différentielle
Les polynômes de Bessel sont les solutions polynomiales de l'équation différentielle :
et
Orthogonalité
Les polynômes de Bessel sont orthogonaux pour le poids e-2/x sur le cercle unité du plan complexe[1] : avec le symbole de Kronecker :
Généralisation
Forme explicite
Une généralisation des polynômes de Bessel ont été suggérés dans la littérature scientifique (Krall, Fink), comme suit :
ce qui donne une généralisation des polynômes inverses avec :
Les coefficients explicites des polynômes yn(x ; α , β) sont[1]:108:
Par conséquent, les polynômes θn(x ; α , β) peuvent être explicitement écrits ainsi :
Avec la fonction poids
on retrouve l'orthogonalité :
avec C une courbe passant autour de l'origine.
On retrouve les polynômes de Bessel pour α = β = 2, et on obtient bien la fonction poids vue au-dessus ρ(x) = exp(−2 / x).
Formule de Rodrigues pour les polynômes de Bessel
La formule de Rodrigues pour les polynômes de Bessel comme solutions particulières des équations différentielles donnent :
où a(α, β) n sont des coefficients de normalisation.
Polynômes de Bessel généralisés
Selon cette généralisation, on trouve l'équation différentielle généralisée pour les polynômes de Bessel généralisés :
avec . Les solutions sont :
Zéros
En désignant les zéros de yn(x ; α , β) par α(n) k(α , β), et ceux de θn(x ; α , β) par β(n) k(α , β), on a les estimations suivantes[2]:82:
et
pour tout . De plus, tous ces zéros ont des parties réelles négatives.
Des résultats plus fins peuvent être donnés en utilisant des théorèmes plus puissants sur l'estimation des zéros de polynômes (comme le théorème parabolique de Saff et Varga, ou des techniques d'équations différentielles[2]:88,[6]).
On a par exemple[7] :
Valeurs particulières
Les six premiers polynômes de Bessel sont :
Aucun polynôme de Bessel ne peut être factorisé avec des coefficients strictement rationnels[8].
Les six premiers polynômes de Bessel inverses sont donc :
↑ abc et dH. L. Krall et O. Frink, « A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 65, no 1, , p. 100-115 (DOI10.2307/1990516).
↑ abcd et e(en) Emil Grosswald, Bessel Polynomials (Lecture Notes in Mathematics), New York, Springer, (ISBN978-0-387-09104-4).
↑(en) Petre Dita et Nicolae Grama, On Adomian's Decomposition Method for Solving Differential Equations, (lire en ligne).
↑(en) E. B. Saff et R. S. Varga, « Zero-free parabolic regions for sequences of polynomials », SIAM J. Math. Anal., vol. 7, no 3, , p. 344-357 (DOI10.1137/0507028).
↑(en) M. G. de Bruin, E. B. Saff et R. S. Varga, « On the zeros of generalized Bessel polynomials. I », Indag. Math., vol. 84, no 1, , p. 1-13.
↑(en) Michael Filaseta et Ognian Trifinov, « The Irreducibility of the Bessel Polynomials », Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, vol. 2002, no 550, , p. 125–140 (DOI10.1515/crll.2002.069, CiteSeerx10.1.1.6.9538).
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