Polynôme d'Abel

En mathématiques, les polynômes d'Abel forment une suite de polynômes dont le n-ième est de la forme

${\displaystyle A_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}.~}$

Cette suite de polynômes est de type binomial.

Propriétés

Fonction génératrice

La fonction génératrice des polynômes d'Abel est :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {A_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\exp \left({\frac {t}{a}}W(at)\right)}$

où W désigne la fonction W de Lambert.

Identité binomiale

Les polynômes d'Abel vérifient l'identité suivante :

${\displaystyle A_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}A_{k}(x)A_{n-k}(y)}$

Applications

Les polynômes d'Abel sont fondamentaux dans le calcul ombral, dans la mesure où on peut montrer que tous les polynômes de type binomial peuvent être exprimés à partir des polynômes d'Abel^[1].

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Abel polynomials » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Gian-Carlo Rota, Jianhong Shen et Brian D. Taylor, « All polynomials of binomial type are represented by Abel polynomials », Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, 4^e série, vol. 25, n^os 3-4,‎ 1997, p. 731-738 (lire en ligne)

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Abel Polynomial », sur MathWorld

Articles connexes

• Suite de Sheffer
• Calcul ombral