Polynôme de Bessel

En mathématiques, les polynômes de Bessel sont une suite de polynômes orthogonaux. Il en existe plusieurs définitions, mais toutes liées. La définition la plus courante est celle donnée par la somme^[1]:

${\displaystyle y_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!\,k!}}\,\left({\frac {x}{2}}\right)^{k}}$

Une autre définition, préférée dans le traitement du signal, est parfois appelée polynômes de Bessel inverses ^[2],[3] :

${\displaystyle \theta _{n}(x)=x^{n}\,y_{n}\left({\frac {1}{x}}\right)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!\,k!}}\,{\frac {x^{n-k}}{2^{k}}}}$

Les coefficients de la deuxième définition sont les mêmes que dans la première, mais l'ordre des monômes est inversé. On a ainsi, par exemple pour l'ordre 3 :

${\displaystyle y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1\quad \mathrm {et} \quad \theta _{3}(x)=x^{3}+6x^{2}+15x+15\,}$

Cette deuxième famille est utilisée dans la conception des filtres de Bessel.

Propriétés

Définition en termes de fonctions de Bessel

Un polynôme de Bessel peut aussi être défini à partir des fonctions de Bessel, dont les polynômes tirent leur nom :

${\displaystyle y_{n}(x)=\,x^{n}\theta _{n}\left({\frac {1}{x}}\right)\,}$

${\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,\mathrm {e} ^{1/x}K_{n+{\frac {1}{2}}}\left({\frac {1}{x}}\right)}$

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,x^{n+1/2}\mathrm {e} ^{x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(x)}$

où K_n(x) est une fonction de Bessel modifiée de deuxième espèce^[2]:7,34. Par exemple^[4]:

${\displaystyle y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,\mathrm {e} ^{1/x}K_{3+{\frac {1}{2}}}\left({\frac {1}{x}}\right)}$

Définition en termes de fonctions hypergéométriques

Un polynôme de Bessel peut aussi être défini comme une fonction hypergéométrique confluente^[5]:

${\displaystyle y_{n}(x)=\,_{2}F_{0}(-n,n+1;;-x/2)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{-n}U\left(-n,-2n,{\frac {2}{x}}\right)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{n+1}U\left(n+1,2n+2,{\frac {2}{x}}\right).}$

On retrouve une expression similaire pour les polynômes de Bessel généralités (cf. infra)^[2]:35:

${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )=\,_{2}F_{0}(-n,n+a-1;;-x/b)=\left({\frac {b}{x}}\right)^{n+a-1}U\left(n+a-1,2n+a,{\frac {b}{x}}\right).}$

Les polynômes de Bessel inverses peuvent s'exprimer à partir des polynômes de Laguerre généralisés :

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {n!}{(-2)^{n}}}\,L_{n}^{-2n-1}(2x)}$

dont on tire une expression sous forme de fonction hypergéométrique :

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {(-2n)_{n}}{(-2)^{n}}}\,\,_{1}F_{1}(-n;-2n;2x)}$

avec (−2n)_n pour le symbole de Pochhammer.

L'inversion pour les monômes s'écrit

${\displaystyle {\frac {(2x)^{n}}{n!}}=(-1)^{n}\sum _{j=0}^{n}{\frac {n+1}{j+1}}{j+1 \choose n-j}L_{j}^{-2j-1}(2x)={\frac {2^{n}}{n!}}\sum _{i=0}^{n}i!(2i+1){2n+1 \choose n-i}x^{i}L_{i}^{(-2i-1)}\left({\frac {1}{x}}\right).}$

Fonction génératrice

Les polynômes de Bessel, avec un décalage d'indice, ont pour fonction génératrice

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}x^{n+{\frac {1}{2}}}\mathrm {e} ^{x}K_{n-{\frac {1}{2}}}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=1+x\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=\exp \left(x(1-{\sqrt {1-2t}})\right).}$

En dérivant selon t et en annulant x, on obtient la fonction génératrice pour les polynômes ${\displaystyle \left(\theta _{n}\right)_{n\geq 0}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\theta _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{\sqrt {1-2t}}}\mathrm {e} ^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.}$

Une fonction génératrice similaire existe pour les ${\displaystyle \left(y_{n}\right)_{n\geq 0}}$^[1]:106:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=\exp \left({\frac {1-{\sqrt {1-2xt}}}{x}}\right).}$

En posant t = z-xz²/2, on trouve l'expression de la fonction exponentielle :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {(z-xz^{2}/2)^{n}}{n!}}.}$

Formules de récurrence

Une définition utilisée plus couramment pour le calcul des valeurs des polynômes de Bessel est la formule de récurrence :

${\displaystyle y_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle y_{1}(x)=x+1\,}$

${\displaystyle y_{n}(x)=(2n\!-\!1)x\,y_{n-1}(x)+y_{n-2}(x)\,}$

et

${\displaystyle \theta _{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle \theta _{1}(x)=x+1\,}$

${\displaystyle \theta _{n}(x)=(2n\!-\!1)\theta _{n-1}(x)+x^{2}\theta _{n-2}(x)\,}$

Équation différentielle

Les polynômes de Bessel sont les solutions polynomiales de l'équation différentielle :

${\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}(x)+2(x\!+\!1){\frac {\mathrm {d} y_{n}(x)}{\mathrm {d} x}}-n(n+1)y_{n}(x)=0}$

et

${\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta _{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}(x)-2(x\!+\!n){\frac {\mathrm {d} \theta _{n}(x)}{\mathrm {d} x}}+2n\,\theta _{n}(x)=0}$

Orthogonalité

Les polynômes de Bessel sont orthogonaux pour le poids e^-2/x sur le cercle unité du plan complexe^[1] : avec le symbole de Kronecker :

${\displaystyle \forall (n,m)\in \mathbb {N} ^{2},\ n\neq m\Longrightarrow \int _{0}^{2\pi }y_{n}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)y_{m}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)\mathrm {i} \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\mathrm {d} \theta =0}$

Généralisation

Forme explicite

Une généralisation des polynômes de Bessel ont été suggérés dans la littérature scientifique (Krall, Fink), comme suit :

${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta ):=(-1)^{n}n!\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{n}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}\left({\frac {\beta }{x}}\right),}$

ce qui donne une généralisation des polynômes inverses avec :

${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta ):={\frac {n!}{(-\beta )^{n}}}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}(\beta x)=x^{n}y_{n}\left({\frac {1}{x}};\alpha ,\beta \right).}$

Les coefficients explicites des polynômes y_n(x ; α , β) sont^[1]:108:

${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n+k+\alpha -2)^{\underline {k}}\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{k}.}$

Par conséquent, les polynômes θ_n(x ; α , β) peuvent être explicitement écrits ainsi :

${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(2n-k+\alpha -2)^{\underline {n-k}}{\frac {x^{k}}{\beta ^{n-k}}}.}$

Avec la fonction poids

${\displaystyle \rho (x;\alpha ,\beta ):=\,_{1}F_{1}\left(1,\alpha -1,-{\frac {\beta }{x}}\right)}$

on retrouve l'orthogonalité :

${\displaystyle \forall n\neq m,\oint _{c}\rho (z;\alpha ,\beta )y_{n}(z;\alpha ,\beta )y_{m}(z;\alpha ,\beta )\mathrm {d} z=0}$

avec C une courbe passant autour de l'origine.

On retrouve les polynômes de Bessel pour α = β = 2, et on obtient bien la fonction poids vue au-dessus ρ(x) = exp(−2 / x).

Formule de Rodrigues pour les polynômes de Bessel

La formule de Rodrigues pour les polynômes de Bessel comme solutions particulières des équations différentielles donnent :

${\displaystyle B_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha }\mathrm {e} ^{-{\frac {\beta }{x}}}}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left(x^{\alpha +2n}\mathrm {e} ^{-{\frac {\beta }{x}}}\right)}$

où a(α, β)
n sont des coefficients de normalisation.

Polynômes de Bessel généralisés

Selon cette généralisation, on trouve l'équation différentielle généralisée pour les polynômes de Bessel généralisés :

${\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}+[(\alpha +2)x+\beta ]{\frac {\mathrm {d} B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{\mathrm {d} x}}-\left[n(\alpha +n+1)+{\frac {m\beta }{x}}\right]B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0}$

avec ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$. Les solutions sont :

${\displaystyle B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha +m}\mathrm {e} ^{-{\frac {\beta }{x}}}}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-m}}{\mathrm {d} x^{n-m}}}\left(x^{\alpha +2n}\mathrm {e} ^{-{\frac {\beta }{x}}}\right).}$

Zéros

En désignant les zéros de y_n(x ; α , β) par α(n)
k(α , β), et ceux de θ_n(x ; α , β) par β(n)
k(α , β), on a les estimations suivantes^[2]:82:

${\displaystyle {\frac {2}{n(n+\alpha -1)}}\leq \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {2}{n+\alpha -1}},}$

et

${\displaystyle {\frac {n+\alpha -1}{2}}\leq \beta _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {n(n+\alpha -1)}{2}},}$

pour tout ${\displaystyle \alpha \geq 2}$. De plus, tous ces zéros ont des parties réelles négatives.

Des résultats plus fins peuvent être donnés en utilisant des théorèmes plus puissants sur l'estimation des zéros de polynômes (comme le théorème parabolique de Saff et Varga, ou des techniques d'équations différentielles^[2]:88,[6]). On a par exemple^[7] :

${\displaystyle {\frac {2}{2n+\alpha -{\frac {2}{3}}}}\leq \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {2}{n+\alpha -1}}.}$

Valeurs particulières

Représentation graphique des six premiers polynômes de Bessel

Les six premiers polynômes de Bessel sont :

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=1\\y_{1}(x)&=x+1\\y_{2}(x)&=3x^{2}+3x+1\\y_{3}(x)&=15x^{3}+15x^{2}+6x+1\\y_{4}(x)&=105x^{4}+105x^{3}+45x^{2}+10x+1\\y_{5}(x)&=945x^{5}+945x^{4}+420x^{3}+105x^{2}+15x+1\end{aligned}}}$

Aucun polynôme de Bessel ne peut être factorisé avec des coefficients strictement rationnels^[8].

Représentation graphique des six premiers polynômes de Bessel inverses

Les six premiers polynômes de Bessel inverses sont donc :

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}(x)&=1\\\theta _{1}(x)&=x+1\\\theta _{2}(x)&=x^{2}+3x+3\\\theta _{3}(x)&=x^{3}+6x^{2}+15x+15\\\theta _{4}(x)&=x^{4}+10x^{3}+45x^{2}+105x+105\\\theta _{5}(x)&=x^{5}+15x^{4}+105x^{3}+420x^{2}+945x+945\end{aligned}}}$

Applications

L'équation différentielle des polynômes de Bessel apparait dans l'étude de l'équation des ondes en coordonnées sphériques^[9].

Articles connexes

• Fonction de Bessel
• Polynôme de Lommel
• Transformation de Hankel
• Série de Fourier généralisée

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bessel polynomials » (voir la liste des auteurs).

1. H. L. Krall et O. Frink, « A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 65, n^o 1,‎ 1948, p. 100-115 (DOI 10.2307/1990516).
2. (en) Emil Grosswald, Bessel Polynomials (Lecture Notes in Mathematics), New York, Springer, 1978 (ISBN 978-0-387-09104-4).
3. Christian Berg et C. Vignat, « Linearization coefficients of Bessel polynomials and properties of Student-t distributions », 2000 (consulté le 16 août 2006).
4. Wolfram Alpha example
5. (en) Petre Dita et Nicolae Grama, On Adomian's Decomposition Method for Solving Differential Equations, 24 mai 2006 (lire en ligne).
6. (en) E. B. Saff et R. S. Varga, « Zero-free parabolic regions for sequences of polynomials », SIAM J. Math. Anal., vol. 7, n^o 3,‎ 1976, p. 344-357 (DOI 10.1137/0507028).
7. (en) M. G. de Bruin, E. B. Saff et R. S. Varga, « On the zeros of generalized Bessel polynomials. I », Indag. Math., vol. 84, n^o 1,‎ 1981, p. 1-13.
8. (en) Michael Filaseta et Ognian Trifinov, « The Irreducibility of the Bessel Polynomials », Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, vol. 2002, n^o 550,‎ 2 août 2002, p. 125–140 (DOI 10.1515/crll.2002.069, CiteSeer^x 10.1.1.6.9538).
9. http://bib.univ-oeb.dz:8080/jspui/bitstream/123456789/8804/1/MemoireMeradHadjer.pdf

• « The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) », The OEIS Foundation Inc. (vois les suites  A001497,  A001498 et  A104548)
• (en) Leonard Carlitz, « A Note on the Bessel Polynomials », Duke Math. J., vol. 24, n^o 2,‎ 1957, p. 151–162 (DOI 10.1215/S0012-7094-57-02421-3, MR 0085360)
• (en) H. Fakhri et A. Chenaghlou, « Ladder operators and recursion relations for the associated Bessel polynomials », Physics Letters A, vol. 358, n^os 5–6,‎ 2006, p. 345–353 (DOI 10.1016/j.physleta.2006.05.070, Bibcode 2006PhLA..358..345F)
• S. Roman, The Umbral Calculus (The Bessel Polynomials §4.1.7), New York, Academic Press, 1984 (ISBN 978-0-486-44139-9)

Liens externes

• (en) « Polynôme de Bessel », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• (en) Eric W. Weisstein, « Bessel Polynomial », sur MathWorld
• suite A001498 de l'OEIS