Ondelette de Haar

L'ondelette de Haar

L'ondelette de Haar, ou fonction de Rademacher, est une ondelette créée par Alfréd Haar en 1909^[1]. On considère que c'est la première ondelette connue. Il s'agit d'une fonction constante par morceaux, ce qui en fait l'ondelette la plus simple à comprendre et à implémenter. L'ondelette de Haar peut être généralisée par ce qu'on appelle le système de Haar.

Ondelette de Haar

La fonction-mère des ondelettes de Haar est une fonction constante par morceaux :

${\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1&\quad {\textrm {pour}}\;\;0\leq t<{\frac {1}{2}},\\-1&\quad {\textrm {pour}}\;\;{\frac {1}{2}}\leq t<1,\\0&\quad {\textrm {sinon}}\\\end{cases}}}$

La fonction d'échelle associée est alors une fonction porte :

${\displaystyle f(t)={\begin{cases}1&\quad {\textrm {pour}}\;\;0\leq t<1,\\0&\quad {\textrm {sinon}}\\\end{cases}}}$

Le système de Haar

Le système de Haar est une suite de fonctions continues par morceaux, appartenant à ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ pour ${\displaystyle 1\leq p<+\infty }$. Il est défini de la manière suivante, à partir des fonctions indicatrices :

• ${\displaystyle h_{1}(t)=1\!\!1_{[0;1]}(t)}$

• Pour ${\displaystyle k\geq 0}$ et ${\displaystyle 1\leq l\leq 2^{k}}$ :

${\displaystyle h_{2^{k}+l}(t)=1\!\!1_{\left[{\frac {2l-2}{2^{k+1}}};{\frac {2l-1}{2^{k+1}}}\right]}(t)-1\!\!1_{\left[{\frac {2l-1}{2^{k+1}}};{\frac {2l}{2^{k+1}}}\right]}(t).}$

Voici les représentations graphiques de h₂ et de h₃ :

Une des propriétés intéressantes du système de Haar est qu'il est une base de Schauder de ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ pour ${\displaystyle 1\leq p<+\infty }$ .

Références

1. (en) « Wavelets: seeing the Forest - and the Trees », sur www.beyonddiscovery.org (consulté le 22 mai 2010)

Articles connexes

• Caractéristiques pseudo-Haar
• Base de Hilbert
• Voir aussi la catégorie « Ondelette »