Noyau de sommabilité

En analyse mathématique, un noyau de sommabilité est une famille de fonctions intégrables, vérifiant certaines conditions suffisantes qui en font une unité approchée.

Définition

Soit ${\displaystyle X}$ l'espace euclidien ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$^[1] ou le cercle unité ${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$^[2],[3] (ou ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$^[4]), muni de sa mesure de Lebesgue (de masse 1, dans le cas du cercle).

Un noyau de sommabilité sur ${\displaystyle X}$ est une famille ${\displaystyle (k_{t})_{t>0}}$^[5] de fonctions intégrables sur ${\displaystyle X}$ telle que :

1. ${\displaystyle \int _{X}k_{t}=1}$
2. ${\displaystyle \sup _{t>0}\int _{X}|k_{t}|<\infty }$
3. pour tout fermé ${\displaystyle Y}$ de ${\displaystyle X}$ ne contenant pas ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\int _{Y}|k_{t}|=0}$.

Une variante^[6] est de considérer une suite de fonctions et de remplacer, dans le point 3, ${\displaystyle t\to 0^{+}}$ par ${\displaystyle n\to +\infty }$.

Si les fonctions ${\displaystyle k_{t}}$ sont positives, la condition 2 est clairement redondante.

Exemples

Sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, si ${\displaystyle k}$ est une fonction intégrable et d'intégrale 1, la famille ${\displaystyle (k_{t})_{t>0}}$ définie par ${\displaystyle k_{t}(x):=t^{-n}k(x/t)}$ est un noyau de sommabilité^[1],[7].

• Un exemple^[1] est le noyau de Poisson sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, qui correspond à la fonction ${\displaystyle k:x\mapsto {\frac {1}{\pi }}{\frac {x}{1+x^{2}}}}$.
• Un autre^[8] est le noyau de Gauss-Weierstrass sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, qui correspond à la fonction gaussienne ${\displaystyle k:x\mapsto \exp(-\pi \|x\|^{2})}$.
• On peut en construire bien d'autres : voir par exemple « Intégrale impropre ».

Sur le cercle :

• le noyau de Dirichlet n'est pas un noyau de sommabilité (${\displaystyle \|D_{n}\|_{1}\to \infty }$) mais sa moyenne de Cesàro, le noyau de Fejér, en est un^[9].
• le noyau de Landau (qui est une suite) et le noyau de Poisson (réindexé par ${\displaystyle t:=1-r}$ avec ${\displaystyle r\in [0,1[}$^[10]) sont des noyaux de sommabilité.
• le noyau de Gauss-Weierstrass sur ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ est le noyau de sommabilité ${\displaystyle (w_{t})_{t>0}}$ donné par^[11] : ${\displaystyle w_{t}(x):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-4\pi ^{2}n^{2}t+2\pi \mathrm {i} nx}={\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}\sum _{j=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-(x+j)^{2}/4t}}$.

Approximation par convolution

La principale^[12] propriété des noyaux de sommabilité est la suivante.

Théorème — Pour tout noyau de sommabilité ${\displaystyle (k_{t})_{t>0}}$ (sur ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ou le cercle),

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}k_{t}\ast f=f}$, aux sens suivants :

1. uniformément sur K, si ${\displaystyle f}$ est mesurable et bornée et si K est un compact en tout point duquel ${\displaystyle f}$ est continue^[13] ;
2. uniformément sur X, si ${\displaystyle f}$ est continue et (si ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$) nulle à l'infini^{[1],[11],[14]} ;
3. dans L^p(X) (1 ≤ p < ∞), si ${\displaystyle f}$ est p-intégrable^{[1],[11],[15]}.

Démonstration

D'après l'hypothèse 1 :

${\displaystyle k_{t}\ast f(x)-f(x)=\int _{X}k_{t}(y)\left(f(x-y)-f(x)\right)\,\mathrm {d} y}$.

Notons ${\displaystyle M=\sup _{t>0}\int _{X}|k_{t}|}$ (fini d'après l'hypothèse 2) et fixons ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

1. Il existe ${\displaystyle \eta >0}$ tel que si ${\displaystyle |y|<\eta }$ alors ${\displaystyle \forall x\in K\quad |f(x-y)-f(x)|\leq {\frac {\varepsilon }{2M}}}$. Pour tout ${\displaystyle x\in K}$, on en déduit :

   ${\displaystyle \left|k_{t}\ast f(x)-f(x)\right|\leq {\frac {\varepsilon }{2}}+2\|f\|_{\infty }\int _{|y|\geq \eta }|k_{t}(y)|\,\mathrm {d} y}$

   donc (d'après l'hypothèse 3) pour ${\displaystyle t}$ suffisamment proche de ${\displaystyle 0}$ :

   ${\displaystyle \forall x\in K\quad \left|k_{t}\ast f(x)-f(x)\right|\leq \varepsilon }$.

2. Le calcul est identique, en remplaçant parout « ${\displaystyle x\in K}$ » par « ${\displaystyle x\in X}$ ».
3. D'après l'inégalité intégrale de Minkowski,

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|k_{t}\ast f-f\right\|_{p}&\leq \left[\int _{X}\left(\int _{X}\left|f(x-y)-f(x)\right|\,|k_{t}(y)|\mathrm {d} y\right)^{p}\,\mathrm {d} x\right]^{1/p}\\&\leq \int _{X}\|\tau _{y}f-f\|_{p}\,|k_{t}(y)|\mathrm {d} y\end{aligned}}}$

   où l'opérateur de translation ${\displaystyle \tau _{y}}$ est défini par ${\displaystyle \tau _{y}f(x):=f(x-y)}$.

   Or il existe ${\displaystyle \eta >0}$ tel que si ${\displaystyle |y|<\eta }$ alors ${\displaystyle \|\tau _{y}f-f\|_{p}\leq {\frac {\varepsilon }{2M}}}$ donc tel que

   ${\displaystyle \left\|k_{t}\ast f-f\right\|_{p}\leq {\frac {\varepsilon }{2}}+2\|f\|_{p}\int _{|y|\geq \eta }|k_{t}(y)|\,\mathrm {d} y}$.

   On en déduit (d'après l'hypothèse 3) que pour ${\displaystyle t}$ suffisamment proche de ${\displaystyle 0}$ :

   ${\displaystyle \left\|k_{t}\ast f-f\right\|_{p}\leq \varepsilon }$.

Notes et références

1. Cerda 2010, p. 54-55.
2. Katznelson 2004, p. 10-13.
3. Cerda 2010, p. 55-58.
4. Montgomery 2014, p. 130-131.
5. Cerda 2010 parle d'une famille indexée par une partie de ${\displaystyle \left]0,+\infty \right[}$ à laquelle ${\displaystyle 0}$ est adhérent.
6. Katznelson 2004 et Montgomery 2014.
7. Rudin 1991, p. 173, § II.6.31, réserve le nom d'« identité approchée sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ » aux familles ${\displaystyle (k_{t})_{t>0}}$ construites de cette façon, avec même ${\displaystyle k}$ fonction test positive.
8. Cerda 2010, p. 72-73.
9. Cerda 2010, p. 58.
10. Katznelson 2004, p. 16.
11. Igari 2000, p. 195.
12. À tel point que Laurent Claessens, Le Frido, vol. 3, TheBookEdition, 2016 (lire en ligne), p. 1151, appelle « unités approchées » les noyaux de sommabilité.
13. Lang 2012, p. 228-229 et, dans le cas où ce compact est un singleton, Claessens 2016, p. 1151-1152.
14. Claessens 2016, p. 1151, suppose seulement que ${\displaystyle f}$ est uniformément continue et bornée.
15. Claessens 2016, p. 1151.

Bibliographie

• (en) Joan Cerda, Linear Functional Analysis, AMS, 2010 (lire en ligne)
• (en) Yitzhak Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, CUP, 2004, 3^e éd. (1^re éd. 1968) (lire en ligne)
• (en) Hugh L. Montgomery, Early Fourier Analysis, AMS, 2014 (lire en ligne)
• (en) Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1991, 2^e éd. (lire en ligne)
• (en) Satoru Igari, Real Analysis : With an Introduction to Wavelet Theory, AMS, 2000 (lire en ligne)
• (en) Serge Lang, Real and Functional Analysis, coll. « GTM » (n^o 142), 2012 (1^re éd. 1993) (lire en ligne)