Nombre de Schröder

En mathématiques, et notamment en combinatoire, un nombre de Schröder compte un certain type de chemins. Ce sont les chemins dans une grille de taille n × n reliant le point de coordonnées (0, 0) au point de coordonnées (n, n) en utilisant seulement des pas unités de direction nord, nord-est ou est, et qui ne dépassent pas la diagonale sud-ouest - nord-est. Un tel chemin est appelé un chemin de Schröder.

Les premiers nombres de Schröder sont :

1, 2, 6, 22, 90, 394, 1806, 8558, .... (C'est la suite A006318 de l'OEIS).

Ils sont nommés ainsi d'après le mathématicien allemand Ernst Schröder^[1]. Ils sont proches des nombres de Catalan, des nombres de Motzkin, des nombres de Schröder-Hipparque. Comme eux, ils possèdent de nombreuses interprétations combinatoires^[2].

Les six chemins de Schröder d'une grille 2 × 2.

Constructions voisines

Les 6 chemins de Schröder de longueur 4 vus horizontalement : les pas horizontaux viennent par deux.

Les nombres de Schröder comptent le nombre de chemins de (0, 0) à (2n, 0), formés depas unitaires nord-est et sud-est (pas (1, 1) ou (1, –1)) ou de pas horizontaux doubles (pas (2, 0)), et qui de plus sont toujours au-dessus de l'axe des x. Ils ressemblent en cela aux chemins de Motzkin, sauf qu'ici, les pas horizontaux viennent par deux.

Les 6 divisions en 3 rectangles par 2 coupures.

Les 22 rectangulations en 4 rectangles par 3 coupures.

Les 6 chemins de Motzkin colorés de longueur 2.

Le n-ème nombre de Schröder compte aussi le nombre de subdivisions d'un rectangle en n + 1 rectangles plus petits obtenu par n droites horizontales ou verticales, avec la restriction qu'il y a n points à l'intérieur du rectangle qui ne sont alignés ni horizontalement ni verticalement, et que toute droite coupante passe par un des points et ne divise qu'un seul rectangle en deux. Sur la figure ci-dessous figurent les 6 subdivisions rectangulaires (rectangulations) en 3 rectangles avec 2 droites coupantes^[3].

Une parmi les autres caractérisations données dans  A006318 lie les nombres de Schröder aux chemins de Motzkin : le n-ème nombre de Schröder est le nombre de chemins de Motzkin colorés de longueur n où chaque pas montant ou horizontal au niveau de l’axe a une parmi deux couleurs, et chaque autre pas horizontal une parmi trois couleurs : pour n=2, on a les 6 possibilités suivantes, où la couleur est notée juste après le pas : U1D, U2D, H1H1, H1H2, H2H1, H2H2. Ici, tous les pas horizontaux sont au niveau de l'axe.

Propriétés

Les nombres de Schröder valent, à l'exception du premier, le double des petits nombres de Schröder ou nombres de Schröder-Hipparque.

Formule de récurrence. Soit ${\displaystyle r_{n}}$ le ${\displaystyle n}$-ème nombre de Schröder. C'est le nombre de chemins horizontaux de longueur ${\displaystyle 2n}$ qui vérifient les contraintes expliquées ci-dessus. Les nombres vérifient la relation de récurrence :

${\displaystyle r_{n}=r_{n-1}+\sum _{k=0}^{n-1}r_{k}r_{n-1-k}}$.

On peut voir cette formule comme suit : un chemin horizontal de longueur ${\displaystyle 2n}$ commence soit par deux pas horizontaux suivis d'un chemin de longueur ${\displaystyle 2(n-1)}$, soit commence par un pas diagonal. Dans ce cas, lorsque le chemin touche pour la première fois l'axe des x, on a délimité un chemin horizontal de Schröder partant de (1,1), de longueur ${\displaystyle 2k}$, avec ${\displaystyle 0\leq k\leq n-1}$.

Série génératrice. Soit

${\displaystyle r(z)=r_{0}+r_{1}z+\cdots +r_{n}z^{n}+\cdots =1+2z+6z^{2}+22z^{3}+90z^{4}+\cdots }$

la série génératrice des nombres de Schröder. Elle satisfait l'équation^[4] suivante :

${\displaystyle r(z)=1+zr(z)+zr(z)^{2}}$.

On obtient l'expression close :

${\displaystyle r(z)={\frac {1-z-{\sqrt {1-6z+z^{2}}}}{2z}}}$.

Langage formel. On peut associer à chaque chemin de Schröder un mot sur l'alphabet ${\displaystyle \{y,x,{\bar {x}}\}}$, en codant par ${\displaystyle y}$ un pas horizontal, par ${\displaystyle x}$ un pas montant et par ${\displaystyle {\bar {x}}}$ un pas descendant^[5]. Ainsi, les 6 mots de longueur 4 sont

${\displaystyle yyyy,yyx{\bar {x}},x{\bar {x}}yy,xyy{\bar {x}},x{\bar {x}}x{\bar {x}},xx{\bar {x}}{\bar {x}}}$.

L'ensemble de ces mots est le langage de Schröder ${\displaystyle R}$. Il est donné par la grammaire formelle ou équation :

${\displaystyle R=1+yyR+xR{\bar {x}}R}$

Les mots de longueur ${\displaystyle 2n}$ sont comptés par le nombre de Schröder ${\displaystyle r_{n}}$.

Formule close. On a^[5] : ${\displaystyle r_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {2n-i}{i}}C_{n-i}}$ où ${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}}$ est le nombre de Catalan d'indice ${\displaystyle n}$.

L'étude de la série génératrice permet d'obtenir l'expression suivante pour le comportement asymptotique^[4] :

${\displaystyle r_{n}\sim {\frac {1}{2{\sqrt {\pi n^{3}}}}}(3-2{\sqrt {2}})^{-n-1/2}}$.

Notes et références

Notes

1. Schröder 1870.
2. Le volume II de (Stanley), Exercice 6.39, donne un ensemble d'interprétations combinatoires, que l’on peut compléter par le « Catalan Addendum ». La page de l'OEIS contient d'autres interprétations.
3. « Catalan Addendum ».
4. Analytic Combinatorics, p. 474-475
5. Gouyou-Beauchamps et Vauquelin 1988

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schröder number » (voir la liste des auteurs).

Références

• (en) Philippe Flajolet et Robert Sedgewick, Analytic Combinatorics, Cambridge University Press, 2008 (ISBN 0-521-89806-4, lire en ligne).
• (en) Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics [détail des éditions] (présentation en ligne).
• Dominique Gouyou-Beauchamps et Bernard Vauquelin, « Deux propriétés combinatoires des nombres de Schröder », Theor. Inform. Appl., vol. 22, n^o 3,‎ 1988, p. 361-388 (lire en ligne).
• Ernst Schröder, « Vier kombinatorische Probleme », Z. Math. Phys., vol. 15,‎ 1870, p. 361-376.

Articles liés

• Nombre de Delannoy
• Nombre de Motzkin
• Nombre de Narayana
• Nombre de Schröder-Hipparque

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Schröder Number », sur MathWorld
• (en) Richard P. Stanley, « Catalan addendum », sur www-math.mit.edu, Information on Enumerative Combinatorics, 1999 (consulté le 3 décembre 2013) Complément sur les nombres de Catalan à son livre Enumerative Combinatorics, Volume 2.