Modèle d'Einstein

En physique statistique et en physique du solide, le modèle d’Einstein est un modèle permettant de décrire la contribution des vibrations du réseau à la capacité calorifique d’un solide cristallin. Il repose sur les hypothèses suivantes :

• chaque atome de la structure est un oscillateur harmonique quantique 3D,
• les atomes vibrent à la même fréquence, contrairement au modèle de Debye.

Ce modèle est nommé d’après Albert Einstein, qui l'a proposé en 1907^[1].

Énergie interne

Les vibrations du réseau cristallin sont quantifiées^[2], c’est-à-dire que les énergies de chaque mode normal de vibration ne peuvent prendre que des valeurs discrètes ${\displaystyle \hbar \omega _{E}}$. Ce modèle repose donc sur la dualité onde-particule des phonons et sur le fait que les 3N oscillateurs harmoniques^[3] vibrent à la même fréquence, de manière isotrope.

L’énergie interne U du solide est donnée par la formule :

${\displaystyle U={\frac {3N\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}}$

où ℏ est la constante de Planck réduite, ω_E est la pulsation d’un oscillateur, N le nombre d’atomes qui constituent le système et ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{B}T}}}$ où k_B est la constante de Boltzmann et T la température absolue.

Démonstration de la formule de l’énergie interne

L’énergie d’un oscillateur harmonique à une dimension vibrant à la fréquence ${\displaystyle \hbar \omega _{E}}$ est donnée par :

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{E}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)(n\geq 0)}$

où ${\displaystyle n}$ est un nombre quantique

On calcule la fonction de partition d’un oscillateur harmonique quantique qui est donnée par la relation :

${\displaystyle Z=\sum _{j}e^{-\beta E_{n}}=\sum _{j}e^{-\beta (n+{\frac {1}{2}})\hbar \omega _{E}}\;\;\left({\text{avec }}\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}\right)}$

où k_B est la constante de Boltzmann, T la température absolue et j est un état de l’oscillateur. Il y a un seul état par niveau d’énergie ; la somme devient donc :

${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-\beta n\hbar \omega _{E}-\beta {\frac {1}{2}}\hbar \omega _{E}}=e^{-{\frac {\beta \hbar \omega _{E}}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(e^{-\beta \hbar \omega _{E}})^{n}}$

En appliquant la formule de la somme d’une suite géométrique, on simplifie la fonction de partition :

${\displaystyle Z=e^{-{\frac {\beta \hbar \omega _{E}}{2}}}\cdot {\frac {1}{1-e^{-\beta \hbar \omega _{E}}}}}$

On obtient alors l’énergie d’un oscillateur :

${\displaystyle {\bar {\epsilon }}=-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}}$

avec ${\displaystyle \ln Z=-{\frac {\beta \hbar \omega _{E}}{2}}-\ln(1-e^{-\beta \hbar \omega _{E}})}$ ce qui donne

${\displaystyle {\bar {\epsilon }}={\frac {\hbar \omega _{E}}{2}}+{\frac {\hbar \omega _{E}e^{-\beta \hbar \omega _{E}}}{1-e^{-\beta \hbar \omega _{E}}}}={\frac {\hbar \omega _{E}}{2}}+{\frac {\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}}$

On remarque au passage que ${\displaystyle \lim _{T\to 0}{\bar {\epsilon }}=\lim _{\beta \to +\infty }{\bar {\epsilon }}={\frac {\hbar \omega _{E}}{2}}}$. Cette énergie correspond à l’énergie de point zéro pour ne pas violer le principe d’incertitude d’Heisenberg^[4]. On ne tient pas compte de l’énergie de point zéro ce qui donne ${\displaystyle {\bar {\epsilon }}={\frac {\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}}$ L’énergie interne du système est alors : ${\displaystyle U=3N{\bar {\epsilon }}={\frac {3N\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}}$^[5]

 

Capacité calorifique

La capacité calorifique C_V est définie par :

${\displaystyle c_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}}$

avec ${\displaystyle \;U=3N{\bar {\epsilon }}={\frac {3N\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}\,}$, on obtient

${\displaystyle c_{V}={\frac {3N\hbar ^{2}\omega _{E}^{2}}{k_{B}T^{2}}}\cdot {\frac {e^{\beta \hbar \omega _{E}}}{\left(e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1\right)^{2}}}=(\beta \hbar \omega _{E})^{2}\cdot {\frac {3Nk_{B}e^{\beta \hbar \omega _{E}}}{\left(e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1\right)^{2}}}}$

On peut définir la température d’Einstein comme ${\displaystyle \Theta _{E}={\frac {\hbar \omega _{E}}{k_{B}}}}$. Tout cela nous donne ${\displaystyle c_{V}\left(T\right)=3Nk_{B}\cdot \left({\frac {\Theta _{E}}{T}}\right)^{2}\cdot {\frac {\exp \left({\frac {\Theta _{E}}{T}}\right)}{\left[\exp \left({\frac {\Theta _{E}}{T}}\right)-1\right]^{2}}}}$

Résultats du modèle

La capacité calorifique obtenue à l’aide du modèle d’Einstein est une fonction de la température. La valeur expérimentale de ${\displaystyle 3Nk}$ est retrouvée pour des températures élevées.

Le modèle d’Einstein retrouve la loi de Dulong et Petit, pour les hautes températures :

${\displaystyle \lim _{T\to +\infty }c_{V}=3Nk_{B}}$

Cependant, à basse température, ce modèle concorde moins avec les mesures expérimentales que celui de Debye :

Lorsque ${\displaystyle T\rightarrow 0{\text{ : }}c_{V}\propto 3Nk_{B}\left({\frac {\Theta _{E}}{T}}\right)^{2}e^{-\Theta _{E}/T}\rightarrow 0}$

Cette discordance avec l’expérience peut s’expliquer en abandonnant l’hypothèse selon laquelle les oscillateurs harmoniques vibrent à la même fréquence.

Voir aussi

Articles connexes

• Loi de Dulong et Petit
• Modèle de Debye
• Phonon

Bibliographie

• Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb), Physique de l’état solide [« Solid state physics »], 1998 [détail des éditions]
• Bernard Diu, Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roulet, Éléments de physique statistique, 1996 [détail de l’édition]
• C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail de l’édition]

Notes et références

1. (de) Albert Einstein, « Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme », Annalen der Physik, vol. 22,‎ 1907, p. 180 (lire en ligne)
2. Cette quantification est due aux conditions aux limites imposées au solide.
3. On modélise les N atomes qui constituent le solide par 3N oscillateurs harmoniques quantiques à une dimension.
4. À 0 K, tous les oscillateurs sont dans un même état (n=0). Si tous les états atomes étaient au repos, leur position et leur vitesse seraient bien déterminées (${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {0}}}$ et ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}}}$) ce qui serait en contradiction avec le principe d’incertitude d’Heisenberg.
5. L’énergie interne est égale au nombre d’oscillateur multipliée par l’énergie d’un seul oscillateur.