Melvyn Richardson commence le handball à 8 ans, lorsque son père, Jackson Richardson, est rentré en France pour évoluer au Chambéry Savoie Handball[5]. Trois ans plus tard, lorsque son père joue en le dernier match de sa carrière devant les 3 500 spectateurs de la Halle olympique d'Albertville, Melvyn entre en jeu et marque le dernier but de la rencontre, comme un passage de flambeau[6].
En 2014, il intègre le centre de formation du Chambéry Savoie Handball après deux ans au pôle espoirs[6]. Dans le même temps, son père devient entraîneur adjoint puis entraîneur principal par intérim de Chambéry à la suite du départ de Mario Cavalli. Le , Melvyn joue ses premières minutes en D1 avec l'équipe professionnelle à l'occasion d'une victoire d'un but à Nantes.
En 2019, il entre en cours de compétition au Championnat du monde et réalise des prestations convaincantes[11]. Il remporte à cette occasion sa première médaille internationale, le bronze. Auteur d'une saison 2018-2019 très convaincante en Championnat, il est élu meilleur joueur et meilleur arrière droit.
En fin de contrat avec en juin 2021, il annonce dès son départ de Montpellier[12]. Si rapidement des rumeurs l'envoient au FC Barcelone, ce n'est qu'en juillet que sa signature pour 4 saisons est officiellement annoncée[13].
Pour sa première saison à Barcelone, il remporte les quatre compétitions espagnoles (sans grande surprise, le Barça ayant remporté toutes les compétitions nationales depuis 2013) et surtout sa deuxième Ligue des champions. Puis, au Championnat du monde 2023, il remporte sa troisième médaille internationale : l'argent.