Matrices anticirculantes

En mathématiques, les matrices anticirculantes sont un cas particulier de matrices de Hankel ou de Toeplitz. Le mot peut désigner plusieurs types de matrices.

Anticirculantes standard

Une matrice anticirculante standard de taille n à coefficients complexes est de la forme générale^[1] :

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}c_{0}&c_{1}&c_{2}&\dots &\ldots &c_{n-1}\\c_{1}&&&c_{n-2}&c_{n-1}&c_{0}\\c_{2}&&c_{n-2}&c_{n-1}&c_{0}&c_{1}\\\dots &&&\dots &\dots \\\dots &&&\dots &\dots \\\dots &&&\dots &\dots \\c_{n-1}&c_{0}&c_{1}&c_{2}&\dots &c_{n-2}\end{pmatrix}}}$

où les coefficients c_i sont des complexes. La valeur des coefficients demeure constante sur les diagonales secondaires de la matrice et leur somme en ligne, comme celle en colonne demeure constante^[2].

Anticirculantes de Hankel

Une autre définition donne les matrices anticirculantes de Hankel (g-circulant ou H-skew-circulant) en opposition aux matrices circulantes de Hankel (ou f-circulant), comme les matrices de Hankel « antisymétriques » par rapport à la seconde diagonale de la matrice.

Elles sont de la forme :

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}c_{0}&c_{1}&c_{2}&\dots &\ldots &0\\c_{1}&&&c_{n-2}&0&-c_{n-2}\\c_{2}&&c_{n-2}&0&-c_{n-2}&-c_{n-3}\\\dots &&&\dots &\dots \\\dots &&&\dots &\dots \\\dots &&&\dots &&-c_{1}\\0&-c_{n-2}&-c_{n-3}&\dots &-c_{1}&-c_{0}\end{pmatrix}}.}$

On montre que toute matrice de Hankel est somme d'une matrice circulante et d'une matrice anticirculante^[3].

Anticirculante de Toeplitz

On appelle parfois matrices anticirculantes de Toeplitz, les matrices de la forme^[4] :

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\dots &-c_{n-1}\\c_{n-1}&c_{0}&-c_{1}&&-c_{n-2}\\c_{n-2}&c_{n-1}&c_{0}&&-c_{n-3}\\\vdots &&&\ddots &\vdots \\c_{1}&c_{2}&c_{3}&\dots &c_{0}\end{pmatrix}}.}$

Elles sont également appelées matrices circulantes gauche (skew en anglais) et entrent dans la décomposition des matrices de Toeplitz^[5].

Quelques propriétés des anticirculantes de type standard

Elles forment un sous-espace vectoriel de l'espace des carrés magiques.

Elles ne forment pas une sous-algèbre de l'algèbre des matrices carrées de taille n.

Elles sont diagonalisables dans ℂ (voir matrice de Hankel).

Cas particulier de la dimension 3

On montre que tout carré magique s'écrit comme somme d'une matrice circulante et d'une matrice anticirculante.

Cette décomposition n'est pas unique et n'a plus lieu dans les dimensions supérieures.

Notes et références

1. (en) Ivan Oseledets, « Optimal Karatsuba-like formulae for certain bilinear forms in GF(2) », Linear Algebra Appl., vol. 429, n^o 8,‎ 2008, p. 2052-2066, p. 17 du preprint
2. (es) Circulantes Matriciales, sur le site Matemáticas y Poesía
3. (en) Vadim Olshevsky, Fast Algorithms for Structured Matrices : Theory and Applications, AMS, 2001 (ISBN 978-0-8218-1921-0, lire en ligne)
4. (en) Dario Bini et Victor Pan, Polynomial and matrix computations, vol. 1, Birkhäuser, 1994, 415 p. (ISBN 978-3-7643-3786-5)
5. (en) Raymond Chang et Michael K. Ng, « Conjugate Gradient Methods for Toeplitz Systems », SIAM Rev., vol. 38, n^o 3,‎ 1996, p. 427-482 (lire en ligne)