Matrice productive

En algèbre linéaire, une matrice carrée d'ordre ${\displaystyle n}$ à coefficients positifs ${\displaystyle A}$ est dite productive, ou de Leontief, s'il existe une matrice colonne à coefficients positifs ${\displaystyle P}$ de format ${\displaystyle n\times 1}$ telle que la matrice colonne ${\displaystyle P-AP}$ soit à coefficients strictement positifs.

Histoire

La notion de matrice productive a été développée par l'économiste Wassily Leontief (Prix Nobel d'économie en 1973) afin de modéliser et d'analyser les relations entre les différents secteurs d'une économie^[1]. Les liens d'interdépendances entre ces derniers peuvent ainsi être étudiés par l'analyse entrées-sorties à l'aide de données empiriques.

Aspects mathématiques

Définition explicite

La matrice ${\displaystyle A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )}$ est productive si et seulement si ${\displaystyle A\geqslant 0}$ et ${\displaystyle \exists P\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} ),P>0}$ tel que ${\displaystyle P-AP>0}$.

Exemples

La matrice ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&1/2&1/2\\1/4&1/2&0\\\end{pmatrix}}}$ est productive.

${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} _{+}}$, la matrice ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&a\\0&0\\\end{pmatrix}}}$ est productive car les inégalités de définition sont vérifiés par ${\displaystyle P={\begin{pmatrix}a+1\\1\\\end{pmatrix}}}$.

Propriétés^[2]

Caractérisation

Théorème Une matrice ${\displaystyle A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )}$ à coefficients positifs est productive si et seulement si ${\displaystyle I_{n}-A}$ est inversible d'inverse à coefficients positifs.

Démonstration

• Implication directe:

Soit ${\displaystyle U\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} ),P>0}$.

Ainsi la matrice ${\displaystyle P=(I_{n}-A)^{-1}U}$ est à coefficients positifs car produit de deux matrices à coefficients positifs.

De plus, ${\displaystyle P-AP=(I_{n}-A)P=(I_{n}-A)(I_{n}-A)^{-1}U=U}$.

D'où ${\displaystyle P-AP>0}$.

Donc ${\displaystyle A}$ est productive.

• Implication réciproque:

Raisonnons ab absurdo.

Supposons que ${\displaystyle \exists P>0}$ tel que ${\displaystyle V=P-AP>0}$ et que ${\displaystyle I_{n}-A}$ est singulière.

L'endomorphisme canoniquement associé à ${\displaystyle I_{n}-A}$ n'est pas injectif par singularité de la matrice.

Ainsi ${\displaystyle \exists Z\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} )}$ non nulle telle que ${\displaystyle (I_{n}-A)Z=0}$.

La matrice ${\displaystyle -Z}$ vérifie les mêmes propriétés que ${\displaystyle Z}$, on peut donc choisir ${\displaystyle Z}$ comme un élément du noyau ayant au moins un terme strictement positif;

D'où ${\displaystyle c=\sup _{i\in [|1,n|]}{\frac {z_{i}}{p_{i}}}}$ est positif et atteint en au moins une valeur ${\displaystyle k\in [|1,n|]}$.

Par définition de ${\displaystyle V}$ et de ${\displaystyle Z}$, nous avons alors:

${\displaystyle cv_{k}=c(p_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}p_{i})=cp_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}cp_{i}}$

${\displaystyle cp_{k}=z_{k}=\sum _{i=1}^{n}a_{ki}z_{i}}$

D'où ${\displaystyle cv_{k}=\sum _{i=1}^{n}a_{ki}(z_{j}-cp_{j})\leq \ 0}$.

Or nous savons que ${\displaystyle c>0}$ et que ${\displaystyle v_{k}>0}$.

Il y a donc contradiction, ipso facto ${\displaystyle I_{n}-A}$ est nécessairement inversible.

Supposons désormais que ${\displaystyle I_{n}-A}$ soit inversible mais d'inverse ayant au moins un terme négatif.

Ainsi ${\displaystyle \exists X\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} ),X\geqslant 0}$ telle que ${\displaystyle Y=(I_{n}-A)^{-1}X}$ possède au moins un terme négatif.

Alors ${\displaystyle c=\sup _{i\in [|1,n|]}-{\frac {y_{i}}{p_{i}}}}$ est positif et atteint en au moins une valeur ${\displaystyle k\in [|1,n|]}$.

Par définition de ${\displaystyle V}$ et de ${\displaystyle X}$, nous avons alors:

${\displaystyle cv_{k}=c(p_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}p_{i})=-y_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}cp_{i}}$

${\displaystyle x_{k}=y_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}y_{i}}$

${\displaystyle cv_{k}+x_{k}=-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}(cp_{i}+y_{i})}$

D'où ${\displaystyle x_{k}\leq \ -cv_{k}<0}$ car ${\displaystyle \forall i\in [|1,n|],a_{k}i\geqslant 0,cp_{i}+y_{i}\geqslant 0}$.

Or nous savons que ${\displaystyle X\geqslant 0}$.

Il y a donc contradiction, ipso facto ${\displaystyle (I_{n}-A)^{-1}}$ est nécessairement à coefficients positifs.

Transposition

Proposition La transposée d'une matrice productive est productive.

Démonstration

Soit ${\displaystyle A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )}$ une matrice productive.

Alors ${\displaystyle (I_{n}-A)^{-1}}$ existe et est à coefficients positifs.

Or ${\displaystyle ((I_{n}-^{\operatorname {t} }\!A))^{-1}=(^{\operatorname {t} }\!(I_{n}-A))^{-1}=^{\operatorname {t} }\!((I_{n}-A)^{-1})}$

Ainsi ${\displaystyle (I_{n}-^{\operatorname {t} }\!A)}$ est inversible d'inverse à coefficients positifs.

Donc ${\displaystyle ^{\operatorname {t} }\!A}$ est productive.

Application

Dans une approche matricielle du tableau entrées-sorties, la matrice de consommation est productive si elle est économiquement viable et si cette dernière ainsi que le vecteur de demande ne comportent que des éléments positifs ou nuls.

Notes et références

1. (en) Kim Minju, Leontief Input-Output Model (Application of Linear Algebra to Economics)
2. Philippe Michel, "9.2 Matrices productives", Cours de Mathématiques pour Économistes, Édition Economica, 1984