Matrice modale

En algèbre linéaire, la matrice modale est utilisée dans le processus de diagonalisation impliquant des valeurs propres et des vecteurs propres.

Plus précisément la matrice modale ${\displaystyle M}$ pour la matrice ${\displaystyle A}$ est la matrice n × n formée avec les vecteurs propres de ${\displaystyle A}$ sous forme de colonnes. Elle est utilisée en diagonalisation

${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

où ${\displaystyle D}$ est une matrice diagonale n × n avec les valeurs propres de ${\displaystyle A}$ sur la diagonale principale de ${\displaystyle D}$ et des zéros ailleurs. La matrice ${\displaystyle D}$ s'appelle la matrice spectrale pour ${\displaystyle A}$. Les valeurs propres doivent apparaître de gauche à droite, de haut en bas dans le même ordre que leurs vecteurs propres correspondants sont disposés de gauche à droite dans ${\displaystyle M}$.

Exemple

La matrice

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&2&0\\2&0&0\\1&0&2\end{pmatrix}}}$

a des valeurs propres et des vecteurs propres correspondants:

${\displaystyle \lambda _{1}=-1,\quad \,\mathbf {b} _{1}=\left(-3,6,1\right),}$

${\displaystyle \lambda _{2}=2,\qquad \mathbf {b} _{2}=\left(0,0,1\right),}$

${\displaystyle \lambda _{3}=4,\qquad \mathbf {b} _{3}=\left(2,1,1\right).}$

Une matrice diagonale ${\displaystyle D}$, similaire, à ${\displaystyle A}$ est :

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&4\end{pmatrix}}.}$

Un choix possible pour une matrice inversible ${\displaystyle M}$ tel que ${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$ est :

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}-3&0&2\\6&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}}.}$

On peut remarquer que la matrice modale ${\displaystyle M}$ et la matrice diagonale ${\displaystyle D}$ ne sont pas uniques. En effet, si on permute une colonne de ${\displaystyle M}$, on obtient une nouvelle matrice ${\displaystyle D}$. De plus, la non unicité des vecteurs propres implique que la matrice ${\displaystyle M}$ n'est pas unique.

Matrice modale généralisée

Soit ${\displaystyle A}$ une matrice n × n. Une matrice modale généralisée ${\displaystyle M}$ de ${\displaystyle A}$ est une matrice n × n dont les colonnes, considérées comme des vecteurs, forment une base canonique pour ${\displaystyle A}$ et apparaissent dans ${\displaystyle M}$ selon les règles suivantes :

• Toutes les chaînes Jordan constituées d'un vecteur (c'est-à-dire de longueur d'un vecteur) apparaissent dans les premières colonnes de ${\displaystyle M}$.
• Tous les vecteurs d'une chaîne apparaissent ensemble dans les colonnes adjacentes de ${\displaystyle M}$ .
• Chaque chaîne apparaît dans ${\displaystyle M}$ par ordre de rang croissant (c'est-à-dire que le vecteur propre généralisé de rang 1 apparaît avant le vecteur propre généralisé de rang 2 de la même chaîne, qui apparaît avant le vecteur propre généralisé de rang 3 de la même chaîne, etc.).

On peut montrer que (1): ${\displaystyle AM=MJ}$où ${\displaystyle J}$ est la réduction de Jordan de A.

En multipliant à gauche par ${\displaystyle M^{-1}}$, on obtient (2): ${\displaystyle J=M^{-1}AM}$

On notera que lors du calcul de ces matrices, l'équation (1) est la plus facile des deux équations à vérifier, car elle ne nécessite pas d'inverser une matrice.

Exemple

Cet exemple illustre une matrice modale généralisée avec quatre chaînes de Jordan. Malheureusement, il est un peu difficile de construire un exemple intéressant d'ordre inférieur.^{[non neutre]} La matrice

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-1&0&-1&1&1&3&0\\0&1&0&0&0&0&0\\2&1&2&-1&-1&-6&0\\-2&0&-1&2&1&3&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\-1&-1&0&1&2&4&1\end{pmatrix}}}$

a une seule valeur propre ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$ avec multiplicité algébrique ${\displaystyle \mu _{1}=7}$ . Une base canonique pour ${\displaystyle A}$ se composera d'un vecteur propre généralisé linéairement indépendant de rang 3 (rang de vecteur propre généralisé), deux de rang 2 et quatre de rang 1 ; ou de manière équivalente, une chaîne de trois vecteurs ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}$, une chaîne de deux vecteurs ${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{1}\right\}}$, et deux chaînes d'un vecteur ${\displaystyle \left\{\mathbf {z} _{1}\right\}}$, ${\displaystyle \left\{\mathbf {w} _{1}\right\}}$ .

Une réduction de Jordan "presque diagonale" ${\displaystyle J}$, similaire à ${\displaystyle A}$, s'obtient comme suit :

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {z} _{1}&\mathbf {w} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&-1&0&0&-2&1\\0&3&0&0&1&0&0\\-1&1&1&1&0&2&0\\-2&0&-1&0&0&-2&0\\1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&-1&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}},}$

où ${\displaystyle M}$ est une matrice modale généralisée pour ${\displaystyle A}$, les colonnes de ${\displaystyle M}$ sont une base canonique pour ${\displaystyle A}$, et ${\displaystyle AM=MJ}$. Il faut remarquer que puisque les vecteurs propres généralisés eux-mêmes ne sont pas uniques, et que certaines des colonnes des deux ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle J}$ peuvent être interchangés, il s'ensuit que les deux ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle J}$ ne sont pas uniques.

Références

• (en) Raymond A. Beauregard et John B. Fraleigh, A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston, Houghton Mifflin Co., 1973 (ISBN 0-395-14017-X)
• (en) Richard Bronson, Matrix Methods: An Introduction, New York, Academic Press, 1970 (LCCN 70097490)
• (en) Evar D. Nering, Linear Algebra and Matrix Theory, New York, Wiley, 1970 (LCCN 76091646)
• Bronson online matrix calculator with steps