Méthode de Halley

En analyse numérique, la méthode de Halley est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction utilisé pour les fonctions d'une variable réelle dérivables deux fois et à dérivée seconde continue (i.e. C²). La méthode, présentée par l'astronome Edmond Halley^[1], est une généralisation de la méthode de Newton, à convergence cubique.

Énoncé

Soit f une fonction C² et a un zéro de f. La méthode de Halley consiste à itérer

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {2f(x_{n})f'(x_{n})}{2{[f'(x_{n})]}^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})}}}$

à partir d'une valeur x₀ proche de a.

Au voisinage de a, la suite vérifie :

${\displaystyle |x_{n+1}-a|<K|x_{n}-a|^{3}}$,

avec K > 0 ; ce qui signifie que la convergence est donc (au pire) cubique.

Déduction

La formule se déduit par exemple de la méthode de Newton appliquée à la fonction ${\displaystyle g=f/{\sqrt {f'}}}$ :

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {g(x_{n})}{g'(x_{n})}}}$,

avec

${\displaystyle g'(x)={\frac {2{[f'(x)]}^{2}-f(x)f''(x)}{2f'(x){\sqrt {f'(x)}}}},}$

d'où le résultat. Si f′(c) = 0, cela ne s'applique que si g peut être prolongée en c.

Notes et références

1. Edmond Halley, « A new, exact, and easy method of finding the roots of any equations generally, and that without any previous reduction », Philosophical Transaction of the Royal Society, London, vol. 18,‎ 1694, p. 136-145

Voir aussi

Liens internes

• Méthode de Newton
• Méthode de Householder

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Halley's Method », sur MathWorld
• (en) Newton's method and high order iterations, Pascal Sebah et Xavier Gourdon, 2001