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Membre de l'équipe GKV en catégories junior puis espoirs, Laurent Évrard est en 2011 l'un des dix jeunes coureurs wallons intégrant le Centre de formation du cyclisme francophone et bénéficiant à ce titre d'un contrat Rosetta (convention de premier emploi)[1].
En 2013, il finit troisième du Tour de Szeklerland et dixième du Tour de Wallonie.
En 2014, il se classe sixième du Tour du Finistère, huitième du Tour du Luxembourg[5].
Durant l'hiver qui suit, il est victime d'une fracture au pied qui retarde le début de sa saison 2015[6]. Pendant cette dernière, il est notamment dixième du Veloton Wales[5]. En fin d'année, il remporte le championnat de Belgique de la course aux points sur piste, devant Jasper De Buyst et Moreno De Pauw[7].
L'équipe 3M disparaît à l'issue de cette saison. Laurent Évrard redevient amateur en 2017 en rejoignant le VC Villefranche Beaujolais, club français de Division nationale 2[9]. Il y est auteur d'une bonne saison avec cinq victoires (Circuit boussaquin, Grand Prix du Cru Fleurie, étapes des Boucles Nationales du Printemps, du Tour de la Vallée Montluçonnaise, du Tour du Chablais) et seize podiums[10],[11] et est engagé en 2018 par la nouvelle équipe continentaleNatura4Ever-Sovac, qui possède une licence algérienne[12].