Né à Roskilde au Danemark, Jeppe Kjær est formé par le club local du FC Roskilde. Il fait ses débuts en professionnel avec ce club, alors que celui-ci évolue en deuxième division danoise le , lors de la première journée de la saison 2008-2009, face au Lolland-Falster Alliancen. Il est titularisé et marque également son premier but en professionnel en toute fin de match, permettant à son équipe de faire match nul (2-2 score final)[1].
Lors de l'été 2012 Jeppe Kjær rejoint le HB Køge. Il joue son premier match sous ses nouvelles couleurs le , contre le Viborg FF, en championnat. Il est titularisé et son équipe s'incline par cinq buts à zéro[2]. L'attaquant se montre décisif dès sa deuxième apparition, le lors de la journée suivante, face au Skive IK, en marquant son premier but pour sa nouvelle équipe. Celle-ci est toutefois battue (2-1 score final)[3].
Le 13 août 2014, Jeppe Kjær s'engage en faveur de l'AGF Aarhus[4].
Lyngby BK
Le il s'engage librement en faveur du Lyngby BK[5].
Il découvre la Superligaen, l'élite du football danois, le , à l'occasion de la première journée de la saison 2016-2017, contre le FC Copenhague. Il est titularisé et son équipe s'incline par trois buts à zéro[6].
Il joue son premier match pour le FC Helsingør le , lors de la deuxième journée de la saison 2019-2020 contre le FA 2000. Il est titularisé et les deux équipes se neutralisent (1-1 score final)[8].
