Inégalité de Boole

En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole affirme que, pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité qu'au moins l'un des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément. Plus formellement,

Inégalité de Boole — Pour une famille au plus dénombrable d'événements A₁, A₂, A₃, …, on a :

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)\leq \sum _{n}\mathbb {P} \left(A_{n}\right).}$

Démonstration

• Première démonstration.

On traite d'abord, par récurrence, le cas d'une famille finie ${\displaystyle (A_{1},\dots ,A_{m})}$ d'évènements.

Il s'agit de prouver que ${\displaystyle \mathbb {P} \left(A_{1}\cup \cdots \cup A_{m}\right)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})}$.

L'inégalité est vraie au rang ${\displaystyle m=1}$. On la suppose vraie à un rang ${\displaystyle m}$ et l'on considère une famille ${\displaystyle (A_{1},\dots ,A_{m+1})}$ de ${\displaystyle m+1}$ évènements.

Soit ${\displaystyle E=A_{1}\cup \cdots \cup A_{m}}$ : ${\displaystyle \mathbb {P} (E)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})}$ (hypothèse de récurrence).

Alors : ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup \cdots \cup A_{m+1})=\mathbb {P} (E\cup A_{m+1})=\mathbb {P} (E)+\mathbb {P} (A_{m+1})-\mathbb {P} (E\cap A_{m+1})}$,

d'où : ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup \cdots \cup A_{m+1})\leq \mathbb {P} (E)+\mathbb {P} (A_{m+1})\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})+\mathbb {P} (A_{m+1})}$.

On traite maintenant le cas d'une suite dénombrable ${\displaystyle (A_{n})_{n\geq 1}}$ d'évènements.

Pour tout entier strictement positif ${\displaystyle n}$, soit ${\displaystyle E_{n}=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}}$ ; alors ${\displaystyle \mathbb {P} (E_{n})\leq \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (A_{k})}$.

L'inégalité de Boole en découle par passage à la limite sur ${\displaystyle n}$ ; en effet, ${\displaystyle \bigcup _{n\geq 1}E_{n}=\bigcup _{n\geq 1}A_{n}}$ et pour tout ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle E_{n}\subset E_{n+1}}$, donc ${\displaystyle \lim \mathbb {P} (E_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)}$.

• Autre méthode (traitant à la fois le cas fini et le cas dénombrable).

On pose ${\displaystyle \ A'_{1}=A_{1}}$ et pour tout ${\displaystyle n\geq 2}$, ${\displaystyle A'_{n}=A_{n}\setminus (A_{1}\cup \cdots \cup A_{n-1})}$.

Alors ${\displaystyle \bigcup _{n}A_{n}=\bigcup _{n}A'_{n}}$, et les évènements ${\displaystyle A'_{1},A'_{2},\dots }$ sont deux à deux incompatibles ;
en outre, pour tout ${\displaystyle n,A'_{n}\subset A_{n}}$, donc ${\displaystyle \mathbb {P} (A'_{n})\leq \mathbb {P} (A_{n})}$ (croissance de ${\displaystyle \mathbb {P} }$).

De tout ceci, il résulte : ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A'_{n}\right)=\sum _{n}\mathbb {P} (A'_{n})\leq \sum _{n}\mathbb {P} (A_{n})}$.

En termes de la théorie de la mesure, l'inégalité de Boole exprime le fait qu'une mesure de probabilité est σ-sous-additive (comme toute mesure).

Conséquence — L'intersection d'une famille finie ou dénombrable d'évènements presque certains, B₁, B₂, B₃, …, est presque certaine (il suffit d'appliquer l'inégalité de Boole aux complémentaires des B_n).

Inégalités de Bonferroni

Les inégalités de Bonferroni, dues à Carlo Emilio Bonferroni, généralisent l'inégalité de Boole. Elles fournissent des majorants et des minorants de la probabilité d'unions finies d'événements.

Inégalités de Bonferroni — Posons :

${\displaystyle S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i}),}$

${\displaystyle S_{2}:=\sum _{i<j}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j}),}$

et pour 2 < k ≤ n,

${\displaystyle S_{k}:=\sum \mathbb {P} (A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}}),}$

où la somme est effectuée sur tous les k-uplets strictement croissants d'entiers compris entre 1 et n.

Alors pour tout entier impair k tel que 1 ≤ k ≤ n

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j},}$

et pour tout entier pair k tel que 2 ≤ k ≤ n

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j}.}$

On retrouve l'inégalité de Boole pour k = 1.

Références

Cet article est élaboré à partir d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais, lui-même tiré d'un article de PlanetMath, disponible sous GFDL.

Voir aussi

• Axiomes des probabilités
• Principe d'inclusion-exclusion
• Carlo Emilio Bonferroni
• George Boole