Graphe sans triangle

En théorie des graphes, un graphe sans triangle est un graphe qui ne possède pas de triplet d'arêtes formant un triangle.

Propriété mathématiques

Théorie de Ramsey

Le théorème de Mantel, cas particulier du théorème de Turán, est :

Le nombre maximal d'arêtes dans un graphe sans triangle est ${\displaystyle \lfloor n^{2}/4\rfloor .}$

Propriétés en tant que famille

La famille des graphes sans triangle, contient notamment les graphes acycliques et est contenue dans les graphes sans diamant.

Reconnaissance

Les graphes sans triangle peuvent être reconnus en temps ${\displaystyle O(m^{1,41})}$, où ${\displaystyle m}$ est le nombre d'arêtes^[1].

De façon plus générale, on peut reconnaître les graphes n'ayant pas de cycles d'une certaine longueur (fixé dans l'algorithme), en temps ${\displaystyle O(nm)}$ (avec ${\displaystyle n}$ le nombre de sommets)^[2] ou en temps ${\displaystyle O(n^{\omega }\log(n))}$^[3].

4-coloration du graphe de Grötzsch.

Le problème est aussi étudié dans le domaine du test de propriété^[4].

Coloration

Le théorème de Grötzsch établit que tout graphe planaire sans triangle possède une 3-coloration, selon les définitions de la coloration de graphe.

Le plus petit graphe sans triangle de nombre chromatique supérieur ou égal à 4 est le graphe de Grötzsch (illustration).

Notes et références

1. Plus précisément en ${\displaystyle O(m^{2\omega /(\omega +1)})}$, où ${\displaystyle \omega }$ est l'exposant pour la multiplication matricielle, voir (Alon, Yuster et Zwick 1994) et (Alon, Yuster et Zwick 1997)
2. (en) Burkhard Monien, « How to find long paths efficiently », North-Holland Mathematics Studies, vol. 109,‎ 1985, p. 239 - 254 (lire en ligne)
3. (en) N. Alon, R. Yuster et U. Zwick, « Color-coding », Journal of the ACM, vol. 42, n^o 4,‎ 1995, p. 844-856 (lire en ligne)
4. Noga Alon, Tali Kaufman, Michael Krivelevich et Dana Ron, « Testing Triangle-Freeness in General Graphs », SIAM J. Discrete Math., vol. 22, n^o 2,‎ 2008, p. 786-819 (DOI 10.1137/07067917X)

Bibliographie

• (en) Noga Alon, R. Yuster et U. Zwick, « Finding and counting given length cycles », dans Proceedings of the 2nd European Symposium on Algorithms, Utrecht, The Netherlands, 1994, p. 354-364.
• (en) N. Alon, R. Yuster et U. Zwick, « Finding and counting given length cycles », Algorithmica,‎ 1997, p. 354-364 (lire en ligne).
• (de) Herbert Grötzsch, « Zur Theorie der diskreten Gebilde, VII: Ein Dreifarbensatz für dreikreisfreie Netze auf der Kugel », Wiss. Z. Martin-Luther-U., Halle-Wittenberg, Math.-Nat. Reihe, vol. 8,‎ 1959, p. 109 - 120.

Liens externes

• Les graphes sans triangle sur Information System on Graph Classes and their Inclusions.