Graphe rhombicuboctaédrique

Graphe rhombicuboctaédrique
Nombre de sommets	24
Nombre d'arêtes	48
Distribution des degrés	4-régulier
Rayon	5
Diamètre	5
Maille	3
Automorphismes	48
Nombre chromatique	3
Indice chromatique	4
Propriétés	Hamiltonien Planaire Régulier Sommet-transitif
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Le graphe rhombicuboctaédrique est, en théorie des graphes, un graphe 4-régulier possédant 24 sommets et 48 arêtes.

Construction

Il existe treize graphes correspondant aux squelettes des treize solides d'Archimède. Le graphe rhombicuboctaédrique est celui associé au petit rhombicuboctaèdre, un solide à 26 faces.

Les douze autres graphes squelettes d'Archimède sont le graphe tétraédrique tronqué, le graphe hexaédrique tronqué, le graphe octaédrique tronqué, le graphe dodécaédrique tronqué, le graphe icosaédrique tronqué, le graphe cuboctaédrique, le graphe cuboctaédrique adouci, le graphe icosidodécaédrique, le graphe dodécaédrique adouci, le graphe cuboctaédrique tronqué, le graphe rhombicosidodécaédrique et le graphe icosidodécaédrique tronqué.

Il a le même nombre de sommets et d'arêtes que le graphe pseudo-rhombicuboctaédrique, qui représente la gyrobicoupole octogonale allongée, un autre solide à 26 faces.

Propriétés

Propriétés générales

Le diamètre du graphe rhombicuboctaédrique, l'excentricité maximale de ses sommets, est 5, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 5 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 4-sommet-connexe et d'un graphe 4-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 4 sommets ou de 4 arêtes.

Coloration

Le nombre chromatique du graphe rhombicuboctaédrique est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe rhombicuboctaédrique est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Propriétés algébriques

Le groupe d'automorphismes du graphe rhombicuboctaédrique est un groupe d'ordre 48.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe rhombicuboctaédrique est : ${\displaystyle (x-4)(x-3)^{3}(x-1)^{2}x^{4}(x+1)^{6}(x+3)^{2}(x^{2}+x-4)^{3}}$.

Voir aussi

Liens internes

• Théorie des graphes

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, Small Rhombicuboctahedral Graph (MathWorld)

Références