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George Niven est recruté par le manager des RangersBill Struth alors qu'il évolue chez les juniors de Coupar Angus en 1951. Il fait ses débuts contre Aberdeen le lors du dernier match de championnat de la saison, le match s'est terminé sur le score de 1-1.
Il a passé plus de dix ans à Ibrox et a remporté cinq championnats, deux Coupes d'Écosse, une Coupe de la Ligue, quatre Glasgow Cup et trois Charity Cup. Au total, il a fait 327 apparitions pour le club.
En , il rejoint Partick Thistle. Dans le Maryhill il fait un total de 232 apparitions en première division et devient indispensable dans les buts des Jags. Il n'a jamais manqué un match de championnat en trois saisons distinctes : 1962-63, 1963-64 et 1967-68. Il a perdu sa place de numéro un quand le vieux rival des Rangers, Billy Ritchie, a rejoint Thistle.
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