Formule de Leibniz

En mathématiques, plusieurs identités portent le nom de formule de Leibniz, nommées en l'honneur du mathématicien Gottfried Wilhelm Leibniz :

• en analyse réelle :
  • la formule de Leibniz est la formule donnant les dérivées successives d'un produit de fonctions réelles d'une variable réelle ou, dans un cadre plus général, la différentielle du produit de deux fonctions différentiables à valeurs dans une algèbre normée,
  • elle peut également désigner la formule de dérivation des intégrales à paramètre (ou intégrales paramétriques) ;
• par extension, la formule de Leibniz, aussi appelée identité de Leibniz, désigne une identité qui définit la notion de dérivation, à savoir : d(ab) = (da) b + a (db) ;
• en algèbre linéaire, la formule de Leibniz fournit une définition du déterminant d'une matrice comme une somme alternée sur ses « serpents » ;
• enfin, la formule de Leibniz désigne aussi la somme de la série alternée des inverses des entiers impairs.

Dérivée d'un produit

Soit ${\displaystyle n}$ un entier positif. Le produit de deux fonctions d'une variable réelle ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ définies et dérivables jusqu'à l'ordre ${\displaystyle n}$ sur un intervalle est dérivable jusqu'à l'ordre ${\displaystyle n}$. La formule de Leibniz fournit sa dérivée d'ordre ${\displaystyle n}$ donnée par^[1] :

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\ f^{(k)}\ g^{(n-k)}}$

où les nombres entiers ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ sont les coefficients binomiaux, et où l'on convient que la « dérivée zéro-ième » de ${\displaystyle f}$, notée ${\displaystyle f^{(0)}}$, est la fonction ${\displaystyle f}$ elle-même.

Cette formule se démontre par récurrence sur l'entier ${\displaystyle n}$^[2]. La démonstration est comparable à celle de la formule du binôme de Newton. Cette dernière peut d'ailleurs en être déduite.

Série alternée

La « Quadrature arithmétique » pour π, trouvée par Leibniz en 1674^[3], est un exemple de série alternée :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}.}$

Elle correspond au développement en série de Taylor de la fonction arctan, évalué au point 1.

Elle a été découverte en Occident au XVII^e[4],[5],[6], mais apparaît déjà chez Madhava, mathématicien indien de la province du Kerala, vers 1400^[7]. Il l'utilise pour calculer une approximation de π. La thèse la plus courante est que les travaux mathématiques indiens de cette période ne seront connus en Occident qu'à la fin du XIX^e siècle, pendant la colonisation de l'Inde par la Grande-Bretagne.

Déterminant d'une matrice carrée

Le déterminant d'une matrice carrée ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ d'ordre n est le nombre :

${\displaystyle \det(A):=\sum _{\sigma \in S_{n}}\varepsilon (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}$

où S_n est le groupe des permutations de {1, 2, … , n} et pour une permutation σ de S_n, ε(σ) désigne sa signature, égale à 1 si la permutation est paire et –1 sinon.

Notes et références

1. Bruno Aebischer, Introduction à l'analyse, Paris, Vuibert, 27 juin 2011, 288 p. (ISBN 978-2-311-00274-4), p. 22
2. Voir Dérivées d'ordre supérieur sur Wikiversité.
3. Lettre de Christian Huygens à Leibniz du 7 novembre 1674 (lire en ligne).
4. (la) Leibniz, « De vera proportione circuli ad quadratum circumscriptum in numeris rationalibus expressa », Acta Eruditorum, février 1682.
5. Leibniz, « Lettre à M. de La Roque, directeur du Journal des sçavans », 1678, Leibnizens mathematische Schriften, vol. 5, p. 88-92.
6. Marc Parmentier, La naissance du calcul différentiel, Vrin, 1989, p. 61-81.
7. (en) L. Berggren, J. Borwein et P. Borwein, Pi, A Source Book, Springer, 1997, « Madhava, the power series for arctan and pi (~1400) », p. 45-50.