Formule de Baker-Campbell-Hausdorff

En mathématiques, la formule de Baker-Campbell (en)-Hausdorff est la solution Z de l'équation :

${\displaystyle e^{Z}=e^{X}e^{Y}}$

où ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ et ${\displaystyle Z}$ sont des matrices, ou plus généralement des éléments d'une algèbre de Lie d'un groupe de Lie.

Expression

Avec les crochets de Lie, elle s'écrit^[1] :

${\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}([X,[X,Y]]-[Y,[X,Y]])+\ldots }$

Une formule reliée est la formule de Zassenhaus: ${\displaystyle e^{X+Y}=e^{X}~e^{Y}~e^{-{\frac {1}{2}}[X,Y]}~e^{{\frac {1}{6}}(2[Y,[X,Y]]+[X,[X,Y]])}~e^{{\frac {-1}{24}}([[[X,Y],X],X]+3[[[X,Y],X],Y]+3[[[X,Y],Y],Y])}\cdots }$

En particulier lorsque ${\displaystyle X}$et ${\displaystyle Y}$ commutent nous avons ${\displaystyle e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}}$

Lorsque ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ commutent avec leur commutateur (c'est-à-dire ${\displaystyle [X,[X,Y]]=[Y,[X,Y]]=0}$) le résultat se restreint à la formule dite de Glauber : ${\displaystyle e^{X+Y}=e^{X}~e^{Y}~e^{-{\frac {1}{2}}[X,Y]}}$. Elle est souvent appliquée en physique quantique avec les opérateurs position et impulsion ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle P}$.

Voir aussi

• Algèbre de Lie
• Exponentielle d'une matrice
• Théorème d'Ado, qui permet de ramener le cas des algèbres de Lie au cas matriciel.

Notes et références

1. Robin Zhang, « The Baker-Campbell–Hausdorff formula » (consulté le 27 novembre 2019)