Forme antisymétrique

En algèbre linéaire, une forme antisymétrique est une forme multilinéaire anticommutative, c’est-à-dire dont une permutation des arguments correspond à la multiplication de la valeur par la signature de la permutation.

Définition

Soit ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {L_{n}}}(E)}$ une forme ${\displaystyle n}$-linéaire avec ${\displaystyle E}$ un ${\displaystyle K}$-espace vectoriel. ${\displaystyle \phi }$ est antisymétrique ssi

${\displaystyle \forall \sigma \in {\mathfrak {S}}_{n},\;\forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in E^{n},\;\epsilon (\sigma )\phi (x_{1},\dots ,x_{n})=\phi (x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})}$

Où ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}}$ est le groupe symétrique de ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$.
En particulier puisque pour tout 2-cycle ${\displaystyle \tau \in {\mathfrak {S}}_{n},~\epsilon (\tau )=-1}$,

${\displaystyle \forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in E^{n},\;\forall (i,j)\in \mathbb {N} ^{2},\;1\leq i<j\leq n\Rightarrow \;\phi (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=-\phi (x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})}$

Il y a même équivalence entre les deux assertions, la seconde étant plus simple à manier, c'est généralement la définition retenue.

Exemples

• Une forme bilinéaire ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle E}$ est dite antisymétrique si :

  ${\displaystyle \forall x,y\in E\quad f(x,y)=-f(y,x)}$.

• Le déterminant est une forme multilinéaire antisymétrique.
• Toute forme alternée est antisymétrique. La réciproque est vraie pour les espaces vectoriels réels ou plus généralement lorsque le corps des scalaires est de caractéristique différente de 2.