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La transformée de Fourier de la fonction sombrero est :
Démonstration
Pour la dérivée, on utilise les relations de récurrence entre les différentes fonctions de Bessel :
,
dont on déduit :
Pour la transformée de Fourier, on calculera plutôt la transformée inverse :
Applications
La transformée de Fourier de la fonction cercle 2D est une fonction sombrero. Celle-ci apparait donc dans le profil d'intensité de la diffraction d'un champ lointain par une ouverture circulaire, qu'on appelle une tache d'Airy.
↑Richard E. Blahut (2004-11-18). Theory of Remote Image Formation. Cambridge University Press. p. 82 (ISBN9781139455305).
↑(en) Fernando Maass et Pablo Martin, « Precise analytic approximations for the Bessel function », Results in Physics, vol. 8, , p. 1234-1238 (DOI10.1016/j.rinp.2018.01.071, lire en ligne)
(en) Qing Cao, « Generalized Jinc functions and their application to focusing and diffraction of circular apertures », Journal of the Optical Society of America A, vol. 20, no 4, , p. 661-667 (lire en ligne)