En théorie des probabilités , la fonction de masse [ 1] c.-à-d. résultat élémentaire) d'une expérience aléatoire. C'est souvent ainsi que l'on définit une loi de probabilité discrète . Elle se distingue de la fonction de densité, c.-à-d. de la densité de probabilité , en ceci que les densités de probabilité ne sont définies que pour des variables aléatoires absolument continues , et que ce sont leurs intégrales sur des domaines qui ont valeurs de probabilités (et non leurs valeurs en des points).
La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. Le support est composé des singletons {1}, {3}, et {7}. Les probabilités associées sont respectivement 0,20, 0,50, et 0,30. Un ensemble ne contenant pas ces points se voit attribuer une probabilité nulle. Soit
(
Ω Ω -->
,
A
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}
espace probabilisé .
On appelle fonction de masse de
P
,
{\displaystyle \mathbb {P} ,}
p
,
{\displaystyle p,}
Ω Ω -->
{\displaystyle \Omega }
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
∀ ∀ -->
ω ω -->
∈ ∈ -->
Ω Ω -->
,
p
(
ω ω -->
)
=
{
P
(
{
ω ω -->
}
)
si
{
ω ω -->
}
∈ ∈ -->
A
,
0
si
{
ω ω -->
}
∉ ∉ -->
A
.
{\displaystyle \forall \omega \in \Omega ,\quad p(\omega )={\begin{cases}\mathbb {P} {\big (}\{\omega \}{\big )}&{\text{si }}\{\omega \}\in {\mathcal {A}},\\0&{\text{si }}\{\omega \}\notin {\mathcal {A}}.\end{cases}}}
Si
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
discrète , alors pour tout
A
∈ ∈ -->
A
:
{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}:}
P
(
A
)
=
∑ ∑ -->
ω ω -->
∈ ∈ -->
A
∩ ∩ -->
Ω Ω -->
a
p
(
ω ω -->
)
=
∑ ∑ -->
ω ω -->
∈ ∈ -->
Ω Ω -->
a
p
(
ω ω -->
)
δ δ -->
ω ω -->
(
A
)
,
{\displaystyle \mathbb {P} (A)=\sum _{\omega \in A\cap \Omega _{a}}p(\omega )=\sum _{\omega \in \Omega _{a}}p(\omega )\delta _{\omega }(A),}
où
Ω Ω -->
a
⊂ ⊂ -->
Ω Ω -->
{\displaystyle \Omega _{a}\subset \Omega }
atomes de
P
,
{\displaystyle \mathbb {P} ,}
δ δ -->
ω ω -->
{\displaystyle \delta _{\omega }}
mesure de Dirac au point
ω ω -->
.
{\displaystyle \omega .}
Exemple
Un dé asiatique à six faces. Lançons un dé équilibré à six faces. On a :
L'univers des issues possibles est
Ω Ω -->
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
.
{\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}.}
La tribu des événements possibles est
A
=
P
(
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}{\big (}\{1,2,3,4,5,6\}{\big )}}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}
Le dé n'est pas pipé, donc les six issues possibles sont équiprobables ; or
P
(
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
)
=
1
,
{\displaystyle \mathbb {P} {\big (}\{1,2,3,4,5,6\}{\big )}=1,}
1
6
.
{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}.}
Dans cet exemple simple :
∀ ∀ -->
ω ω -->
∈ ∈ -->
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
,
{
ω ω -->
}
∈ ∈ -->
P
(
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
)
.
{\displaystyle \forall \omega \in \{1,2,3,4,5,6\},\ \{\omega \}\in {\mathcal {P}}{\big (}\{1,2,3,4,5,6\}{\big )}.}
Donc la fonction de masse de
P
,
{\displaystyle \mathbb {P} ,}
p
,
{\displaystyle p,}
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}
[
0
,
1
]
,
{\displaystyle [0,1],}
∀ ∀ -->
ω ω -->
∈ ∈ -->
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
,
p
(
ω ω -->
)
=
P
(
{
ω ω -->
}
)
=
1
6
.
{\displaystyle \forall \omega \in \{1,2,3,4,5,6\},\quad p(\omega )=\mathbb {P} {\big (}\{\omega \}{\big )}={\tfrac {1}{6}}.}
(Voir l'article Loi uniforme discrète pour une présentation mathématiquement un peu différente du lancer d’un même dé équilibré à six faces.)
Soit
(
Ω Ω -->
,
A
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}
(
X
,
B
)
{\displaystyle ({\textsf {X}},{\mathcal {B}})}
espace probabilisable , et
X
:
Ω Ω -->
⟶ ⟶ -->
X
{\displaystyle X:\Omega \longrightarrow {\textsf {X}}}
variable aléatoire .
On appelle fonction de masse de
P
X
,
{\displaystyle \mathbb {P} _{X},}
p
X
,
{\displaystyle p_{X},}
X
{\displaystyle {\textsf {X}}}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
X
,
p
X
(
x
)
=
{
P
X
(
{
x
}
)
si
{
x
}
∈ ∈ -->
B
,
[
information douteuse
]
0
si
{
x
}
∉ ∉ -->
B
;
[
information douteuse
]
=
{
P
X
(
{
x
}
)
si
x
∈ ∈ -->
X
(
Ω Ω -->
)
,
[
information douteuse
]
0
si
x
∉ ∉ -->
X
(
Ω Ω -->
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in {\textsf {X}},\quad p_{X}(x)&={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}(\{x\})&{\text{si }}\{x\}\in {\mathcal {B}},{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{information douteuse}}\mathbf {]} }}\\0&{\text{si }}\{x\}\notin {\mathcal {B}}\ ;{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{information douteuse}}\mathbf {]} }}\end{cases}}\\&={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}(\{x\})&{\text{si }}x\in X(\Omega ),{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{information douteuse}}\mathbf {]} }}\\0&{\text{si }}x\notin X(\Omega ).\end{cases}}\end{aligned}}}
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
X
,
p
X
(
x
)
=
{
P
X
(
{
x
}
)
(possiblement 0)
si
(
X
=
x
)
∈ ∈ -->
A
,
[
suggestion de rectification
]
0
si
(
X
=
x
)
∉ ∉ -->
A
.
[
suggestion de rectification
]
{\displaystyle \forall x\in {\textsf {X}},\quad p_{X}(x)={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}{\big (}\{x\}{\big )}~~~{\text{(possiblement 0)}}&{\text{si }}(X=x)\in {\mathcal {A}},{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{suggestion de rectification}}\mathbf {]} }}\\0&{\text{si }}(X=x)\notin {\mathcal {A}}.{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{suggestion de rectification}}\mathbf {]} }}\end{cases}}}
Si
X
{\displaystyle X}
B
∈ ∈ -->
B
:
{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}:}
P
X
(
B
)
=
∑ ∑ -->
x
∈ ∈ -->
B
∩ ∩ -->
X
a
p
X
(
x
)
=
∑ ∑ -->
x
∈ ∈ -->
X
a
p
X
(
x
)
δ δ -->
x
(
B
)
,
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\sum _{x\in B\cap {\textsf {X}}_{a}}p_{X}(x)=\sum _{x\in {\textsf {X}}_{a}}p_{X}(x)\delta _{x}(B),}
où
X
a
⊂ ⊂ -->
X
{\displaystyle {\textsf {X}}_{a}\subset {\textsf {X}}}
P
X
,
{\displaystyle \mathbb {P} _{X},}
δ δ -->
x
{\displaystyle \delta _{x}}
x
.
{\displaystyle x.}
Le théorème de transfert donne, pour toute fonction
φ φ -->
:
X
⟶ ⟶ -->
R
:
{\displaystyle \varphi :{\textsf {X}}\longrightarrow \mathbb {R} :}
E
(
φ φ -->
(
X
)
)
=
∑ ∑ -->
x
∈ ∈ -->
X
a
φ φ -->
(
x
)
p
X
(
x
)
.
{\displaystyle \mathbb {E} {\big (}\varphi (X){\big )}=\sum _{x\in {\textsf {X}}_{a}}\varphi (x)p_{X}(x).}
Pour une loi continue , la fonction de masse est la fonction nulle , donc elle n'est pas pertinente. Si une loi continue n'est pas singulière (c.-à-d. si elle est absolument continue ), on utilise sa densité de probabilité .
Exemple
Lançons une pièce de monnaie équilibrée ; soit
X
{\displaystyle X}
L'univers des issues possibles est
Ω Ω -->
=
{
p
i
l
e
,
f
a
c
e
}
.
{\displaystyle \Omega =\{\mathrm {pile} ,\mathrm {face} \}.}
X
=
R
{\displaystyle {\textsf {X}}=\mathbb {R} }
X
⊃ ⊃ -->
X
(
{
p
i
l
e
,
f
a
c
e
}
)
=
{
0
,
1
}
,
{\displaystyle {\textsf {X}}\supset X{\big (}\{\mathrm {pile} ,\mathrm {face} \}{\big )}=\{0,1\},}
X
:
{
p
i
l
e
,
f
a
c
e
}
⟶ ⟶ -->
X
{\displaystyle X:\{\mathrm {pile} ,\mathrm {face} \}\longrightarrow {\textsf {X}}}
La tribu des événements possibles est
A
=
P
(
{
p
i
l
e
,
f
a
c
e
}
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}{\big (}\{\mathrm {pile} ,\mathrm {face} \}{\big )}}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
{
p
i
l
e
,
f
a
c
e
}
{\displaystyle \{\mathrm {pile} ,\mathrm {face} \}}
B
=
P
(
R
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
image directe par
X
{\displaystyle X}
La pièce n'est pas biaisée, donc les deux issues possibles sont équiprobables ; or
P
(
{
p
i
l
e
,
f
a
c
e
}
)
=
1
,
{\displaystyle \mathbb {P} {\big (}\{\mathrm {pile} ,\mathrm {face} \}{\big )}=1,}
P
(
{
p
i
l
e
}
)
=
P
(
{
f
a
c
e
}
)
=
1
2
,
{\displaystyle \mathbb {P} {\big (}\{\mathrm {pile} \}{\big )}=\mathbb {P} {\big (}\{\mathrm {face} \}{\big )}={\tfrac {1}{2}},}
c.-à-d.
P
X
(
{
0
}
)
=
P
X
(
{
1
}
)
=
1
2
.
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}{\big (}\{0\}{\big )}=\mathbb {P} _{X}{\big (}\{1\}{\big )}={\tfrac {1}{2}}.}
Donc la fonction de masse de
P
X
,
{\displaystyle \mathbb {P} _{X},}
p
X
,
{\displaystyle p_{X},}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
[
0
,
1
]
,
{\displaystyle [0,1],}
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
R
,
p
X
(
x
)
=
{
1
2
si
x
∈ ∈ -->
{
0
,
1
}
,
0
si
x
∉ ∉ -->
{
0
,
1
}
.
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad p_{X}(x)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}&{\text{si }}x\in \{0,1\},\\0&{\text{si }}x\notin \{0,1\}.\end{cases}}}
Dans cet exemple simple :
(
X
=
0
)
⇔ ⇔ -->
(
ω ω -->
=
pile
)
,
{\displaystyle (X=0)\Leftrightarrow (\omega ={\text{pile}}),}
∈ ∈ -->
A
;
(
X
=
1
)
⇔ ⇔ -->
(
ω ω -->
=
face
)
,
{\displaystyle \in {\mathcal {A}}\ ;(X=1)\Leftrightarrow (\omega ={\text{face}}),}
∈ ∈ -->
A
;
{\displaystyle \in {\mathcal {A}}\ ;}
∀ ∀ -->
x
∉ ∉ -->
{
0
,
1
}
,
(
X
=
x
)
⇔ ⇔ -->
{
ω ω -->
}
=
∅ ∅ -->
,
{\displaystyle \forall x\notin \{0,1\},\ (X=x)\Leftrightarrow \{\omega \}=\emptyset ,}
∈ ∈ -->
A
;
{\displaystyle \in {\mathcal {A}}\ ;}
p
X
{\displaystyle p_{X}}
P
X
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}}
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
R
,
p
X
(
x
)
=
P
X
(
{
x
}
)
(possiblement 0)
.
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad p_{X}(x)=\mathbb {P} _{X}{\big (}\{x\}{\big )}~~~{\text{(possiblement 0)}}.}
X
{\displaystyle X}
P
X
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}}
loi de Bernoulli de paramètre
1
2
.
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.}
Bibliographie
(en) N.L. Johnson, S. Kotz et A. Kemp, Univariate Discrete Distributions , Wiley, p. 36 (ISBN 0-471-54897-9
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![{\displaystyle [0,1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971caee396752d8bf56711f55d2c3b1207d4a236)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in {\textsf {X}},\quad p_{X}(x)&={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}(\{x\})&{\text{si }}\{x\}\in {\mathcal {B}},{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{information douteuse}}\mathbf {]} }}\\0&{\text{si }}\{x\}\notin {\mathcal {B}}\ ;{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{information douteuse}}\mathbf {]} }}\end{cases}}\\&={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}(\{x\})&{\text{si }}x\in X(\Omega ),{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{information douteuse}}\mathbf {]} }}\\0&{\text{si }}x\notin X(\Omega ).\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06df54685cfc0a48dbcc971247a140bbacb7d8e1)
![{\displaystyle \forall x\in {\textsf {X}},\quad p_{X}(x)={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}{\big (}\{x\}{\big )}~~~{\text{(possiblement 0)}}&{\text{si }}(X=x)\in {\mathcal {A}},{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{suggestion de rectification}}\mathbf {]} }}\\0&{\text{si }}(X=x)\notin {\mathcal {A}}.{\color {royalblue}^{\mathbf {[} {\text{suggestion de rectification}}\mathbf {]} }}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f899e6735c25147b9b0f88dfed88b84bd860ab)
