Le graphe de la fonction de Dickman–de Bruijn ρ sur une échelle logarithmique. L'axe horizontal est l'argument u, et l'axe vertical est la valeur ρ(u) de la fonction ρ.
Elle fut étudiée pour la première fois par l'actuaireKarl Dickman, qui la définit dans son unique publication mathématique[1]. Elle est étudiée plus tard par le mathématicien néerlandais Nicolaas Govert de Bruijn[2],[3].
pour tout u > 1, ainsi que la condition initiale ρ(u) = 1 pour 0 ≤ u ≤ 1.
Propriétés
Dickman a montré que pour tout u≥1 fixé, on a lorsque x tend vers l'infini
où Ψ(x,y) est le nombre d'entiers y-friables inférieurs à x. La version la plus uniforme connue[réf. nécessaire]actuellement[Quand ?] est due à Hildebrand[4] et stipule que pour tout ε > 0 fixé,
La principale utilité de la fonction de Dickman-de Bruijn est l'estimation de la proportion d'entiers qui sont friables et d'une taille donnée. Cela intervient dans l'optimisation de certaines preuves et constructions en théorie des nombres, ainsi qu'en théorie algorithmique des nombres.
lorsque u tend vers l'infini et u < log x/log log x. Cela est lié à l'approximation ρ(u) ≈ u-u détaillée ci-dessous, et a une grande utilité dans le théorème d'Erdös-Rankin sur les grands écarts entre nombres premiers.
Pour chaque intervalle du type [n - 1, n], où n est un entier strictement positif, il existe une fonction analytique ρn telle que ρn(u) = ρ(u) lorsque n-1 < u ≤ n. Ces fonctions peuvent être déterminées par récurrence à partir de l'équation (*). Ainsi, ρ1(u) = 1, ρ2(u) = 1-log u, et
où Li2 est le dilogarithme. Les fonctions ρn peuvent également être exprimées sous forme d'une série entière dont les coefficients sont explicites[6].
Généralisation
Friedlander définit[7] un analogue σ(u,v) de ρ(u), qui est également définie comme la solution d'un système d'équations différentielles aux différences. Cette fonction est utile dans l'estimation du nombre Ψ(x, y, z) des entiers inférieurs à x, dont tous les facteurs premiers sont compris dans l'intervalle ]z, y] (avec z<y). On a en effet, lorsque u et v sont fixés avec 1 ≤ u < v, et lorsque x tend vers l'infini,
↑K. Dickman, « On the frequency of numbers containing prime factors of a certain relative magnitude », Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, vol. 22A, no 10, , p. 1–14
↑N. G. de Bruijn, « On the number of positive integers ≤ x and free of prime factors > y, II », Indagationes Mathematicae, vol. 28, , p. 239–247 (lire en ligne)
↑A. Hildebrand, « On the number of positive integers ≤ x and free of prime factors > y », Journal of Number Theory, vol. 22, no 3, , p. 289-307 (DOI10.1016/0022-314X(86)90013-2)
↑John B. Friedlander, « Integers free from large and small primes », Proc. London Math. Soc., vol. 33, no 3, , p. 565–576 (DOI10.1112/plms/s3-33.3.565, lire en ligne)