La fonction de Dawson,
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
Une fonction de Dawson généralisée,
D
− − -->
(
x
)
{\displaystyle D_{-}(x)}
En mathématiques , et plus précisément en analyse , la fonction de Dawson (portant le nom de H. G. Dawson, et parfois appelée intégrale de Dawson ) est une fonction spéciale , définie comme étant une solution particulière de l'équation différentielle
y
′
+
2
x
y
=
1.
{\displaystyle y'+2xy=1.}
La fonction de Dawson peut être définie comme la solution de l'équation différentielle
F
′
(
x
)
+
2
x
F
(
x
)
=
1
{\displaystyle F'(x)+2xF(x)=1}
satisfaisant la condition initiale F (0) = 0 ; la méthode de variation de la constante permet alors d'en déduire que
F
(
x
)
=
e
− − -->
x
2
∫ ∫ -->
0
x
e
t
2
d
t
.
{\displaystyle F(x)={\rm {e}}^{-x^{2}}\int _{0}^{x}{\rm {e}}^{t^{2}}\,{\rm {d}}t.}
La fonction de Dawson peut être calculée à partir de la fonction d'erreur erf : on a
F
(
x
)
=
π π -->
2
e
− − -->
x
2
e
r
f
i
(
x
)
=
− − -->
i
π π -->
2
e
− − -->
x
2
e
r
f
(
i
x
)
{\displaystyle F(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}{\rm {e}}^{-x^{2}}\mathrm {erfi} (x)=-{{\rm {i}}{\sqrt {\pi }} \over 2}{\rm {e}}^{-x^{2}}\mathrm {erf} ({\rm {i}}x)}
où erfi est la fonction d'erreur imaginaire, erfi(x ) = −i erf(i x ).
Quand x tend vers 0, on a
F
(
x
)
∼ ∼ -->
x
{\displaystyle F(x)\sim x}
équivalence des fonctions ) et quand x tend vers l'infini,
F
(
x
)
∼ ∼ -->
1
2
x
{\displaystyle F(x)\sim {\frac {1}{2x}}}
Plus précisément, au voisinage de 0, le développement en série entière de F est :
F
(
x
)
=
∑ ∑ -->
n
=
0
+
∞ ∞ -->
(
− − -->
2
)
n
1
⋅ ⋅ -->
3
⋅ ⋅ -->
5
⋯ ⋯ -->
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
=
x
− − -->
2
3
x
3
+
4
15
x
5
− − -->
… … -->
{\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-2)^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1)}}\,x^{2n+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\dots }
(cette série entière converge pour tout x ) et, son développement asymptotique en
+
∞ ∞ -->
{\displaystyle +\infty }
F
(
x
)
=
1
2
x
+
1
4
x
3
+
3
8
x
5
+
⋯ ⋯ -->
+
1
⋅ ⋅ -->
3
⋅ ⋅ -->
5
⋯ ⋯ -->
(
2
n
− − -->
1
)
2
n
+
1
x
2
n
+
1
+
o
(
x
− − -->
2
n
− − -->
2
)
{\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\dots +{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^{n+1}x^{2n+1}}}+o(x^{-2n-2})}
(qui, au contraire, correspond pour tout x à une série divergente ).
On trouve parfois pour la fonction de Dawson la notation
D
+
(
x
)
=
e
− − -->
x
2
∫ ∫ -->
0
x
e
t
2
d
t
{\displaystyle D_{+}(x)={\rm {e}}^{-x^{2}}\int _{0}^{x}{\rm {e}}^{t^{2}}\,{\rm {d}}t}
D
− − -->
(
x
)
=
e
x
2
∫ ∫ -->
0
x
e
− − -->
t
2
d
t
{\displaystyle D_{-}(x)={\rm {e}}^{x^{2}}\int _{0}^{x}{\rm {e}}^{-t^{2}}\,{\rm {d}}t}
D
+
(
x
)
=
π π -->
2
e
− − -->
x
2
e
r
f
i
(
x
)
e
t
D
− − -->
(
x
)
=
π π -->
2
e
x
2
e
r
f
(
x
)
.
{\displaystyle D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}{\rm {e}}^{-x^{2}}\mathrm {erfi} (x)\quad {\rm {et}}\quad D_{-}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}{\rm {e}}^{x^{2}}\mathrm {erf} (x).}
Liens externes
