Espace de Hardy

Les espaces de Hardy, dans le domaine mathématique de l'analyse fonctionnelle, sont des espaces de fonctions analytiques sur le disque unité 𝔻 du plan complexe.

Le cas hilbertien : l'espace H²(𝔻)

Définition

Soit f une fonction holomorphe sur 𝔻, on sait que f admet un développement en série de Taylor en 0 sur le disque unité :

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {D} \qquad f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }\,{\hat {f}}(n)\ z^{n}\qquad {\text{avec}}\qquad {\hat {f}}(n):={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}.}$

On dit alors que f est dans l'espace de Hardy H²(𝔻) si la suite ${\displaystyle ({\hat {f}}(n))}$ appartient à ℓ². Autrement dit, on a :

${\displaystyle H^{2}(\mathbb {D} )=\left\lbrace f\in Hol(\mathbb {D} )~\left|~\sum _{n=0}^{+\infty }\,|{\hat {f}}(n)|^{2}<+\infty \right.\right\rbrace }$

On définit alors la norme de f par :

${\displaystyle \|f\|_{2}:=\left(\sum _{n=0}^{+\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}$

Exemple

La fonction ${\displaystyle z\mapsto \log(1-z)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}}$ appartient à H²(𝔻), par convergence de la série ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{2}}}}$ (série de Riemann convergente).

Une autre expression de la norme

Pour f holomorphe sur 𝔻 et pour 0 ≤ r <1, on définit :

${\displaystyle M_{2}(f,r):=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})\vert ^{2}~\mathrm {d} t\right)^{\frac {1}{2}}.}$

• la fonction r ↦ M₂(f, r) est croissante sur [0, 1[.
• f ∈ H²(𝔻) si et seulement si ${\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}M_{2}(f,r)<+\infty }$ et l'on a :

${\displaystyle \|f\|_{2}^{2}=\lim _{r\to 1^{-}}{{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})\vert ^{2}~\mathrm {d} t}=\sup _{0\leq r<1}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})\vert ^{2}~\mathrm {d} t.}$

Démonstration

• Posons ${\displaystyle z=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}}$ où ${\displaystyle r\in [0,1[}$ et ${\displaystyle t\in [-\pi ,\pi ]}$. On a :
  ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)z^{n}{\hbox{ donc }}f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)r^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt}}$
  Alors, par la formule de Parseval, on a :
  ${\displaystyle M_{2}(f,r)^{2}=\sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}}$
  Cette formule prouve la première assertion.
• Si f ∈ H²(𝔻), la formule précédente montre que ${\displaystyle M_{2}(f,.)}$ est une fonction croissante, bornée donc ${\displaystyle \displaystyle {\lim _{r\rightarrow 1-}M_{2}(f,r)}}$ existe et d'après le théorème de convergence monotone cette limite est égale à ${\displaystyle \|f\|_{2}}$. Réciproquement si ${\displaystyle \displaystyle {\lim _{r\rightarrow 1-}M_{2}(f,r)=M<+\infty }}$, pour chaque ${\displaystyle N\geq 0}$, on a, par croissance de ${\displaystyle M_{2}(f,r)}$ :
  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}\leq \sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}\leq M^{2}}$
  En passant à la limite quand ${\displaystyle r}$ tend vers ${\displaystyle 1^{-}}$ puis quand ${\displaystyle N}$ tend vers ${\displaystyle +\infty }$, on obtient la deuxième assertion.

Quelques propriétés de l'espace H²(𝔻)

• L'espace de Hardy H²(𝔻) est isométriquement isomorphe (en tant qu'espace vectoriel normé) à ℓ². C'est donc un espace de Hilbert.

Démonstration

On considère l'application ${\displaystyle T:H^{2}(\mathbb {D} )\rightarrow \ell _{2}}$ définie par ${\displaystyle T(f)=({\hat {f}}(n))}$. Celle-ci est bien définie par définition de H²(𝔻), elle est clairement linéaire. Par unicité du développement en série entière elle est injective, il reste à montrer qu'elle est surjective.

Soit ${\displaystyle (a_{n})\in \ell _{2}}$, ${\displaystyle (a_{n})}$ est bornée donc la série entière f définie par ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}}$ a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1, en particulier ${\displaystyle f\in Hol(\mathbb {D} )}$ et ${\displaystyle T(f)=(a_{n})}$. ${\displaystyle T}$ est donc bien surjective.

• Pour tout f ∈ H²(𝔻) et pour tout z dans 𝔻, on a :

${\displaystyle \vert f(z)\vert \leq {\frac {\|f\|_{2}}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}.}$

Démonstration

On applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz au développement en série de Taylor de f en 0. On a alors, pour tout z dans 𝔻 :

${\displaystyle \vert f(z)\vert \leq \sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert \vert z\vert ^{n}\leq \|f\|_{2}\,{(\sum _{n=0}^{+\infty }\vert z\vert ^{2n})}^{\frac {1}{2}}={\frac {\|f\|_{2}}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}}$.

Cela signifie que l'application linéaire d'évaluation f ↦ f(z), de H²(𝔻) dans ℂ, est continue pour tout z dans 𝔻 et sa norme est plus petite que :

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}.}$

En fait, on peut montrer que la norme est exactement égale à cette constante.

• La topologie faible de la boule unité de H²(𝔻) coïncide avec la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.

Les deux prochaines propriétés sont alors des conséquences directes de cette dernière.

• Soit (f_n) une suite d'éléments de H²(𝔻) qui converge en norme vers f alors (f_n) converge uniformément sur tout compact de 𝔻 vers f.
• Soit (f_n) une suite d'éléments de H²(𝔻) incluse dans la boule unité. Alors on peut en extraire une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact de 𝔻.

Le cas général

Définition

Pour 0 < p < + ∞, on définit l'espace de Hardy H^p(𝔻) comme étant l'espace des fonctions analytiques f sur le disque unité telles que :

${\displaystyle \sup _{0<r<1}\left(\int _{0}^{2\pi }|f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})|^{p}~{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)<+\infty .}$

On définit alors :

${\displaystyle \|f\|_{p}=\sup _{0<r<1}\left(\int _{0}^{2\pi }|f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})|^{p}~{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Quelques propriétés

• Pour p ≥ 1, H^p(𝔻) est un espace de Banach.
• Soit f ∈ H^p(𝔻) pour p ≥ 1. Alors pour presque tout t (au sens de la mesure de Lebesgue) :
  ${\displaystyle f^{*}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}):=\lim _{r\to 1^{-}}f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})}$
  existe et l'application f ↦ f* est une isométrie de H^p(𝔻) sur le sous-espace ${\displaystyle H_{*}^{p}}$ de ${\displaystyle L^{p}\left([0,2\pi ],{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)}$ où :
  ${\displaystyle H_{*}^{p}=\left\{\left.f\in L^{p}\left([0,2\pi ],{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)~\right|~\forall n\leq -1,~{\hat {f}}(n)=0\right\}.}$
• On a une autre caractérisation de la norme grâce aux propriétés des fonctions sous-harmoniques : Pour toute f ∈ H^p(𝔻), on a :

${\displaystyle \|f\|_{p}=\lim _{r\to 1^{-}}\left(\int _{0}^{2\pi }|f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})|^{p}{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Factorisation de Beurling

Bibliographie

• (en) Peter L. Duren, Theory of H^p Spaces, Dover, 2000, 292 p. (ISBN 978-0-486-41184-2, lire en ligne)
• Nikolaï Nikolski, Éléments d'analyse avancée T.1 - Espaces de Hardy, Belin, novembre 2012, (ISBN 978-2701163482)

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