Empilement de carrés dans un carré

L'empilement de carrés dans un carré est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des carrés unités (côté 1) identiques de nombre n dans le carré le plus petit possible de côté a. Si a est un entier, la réponse est a².

La plus petite valeur de a qui permet d'empiler des carrés de n unités est connue lorsque n est un carré parfait (auquel cas il est √n), ainsi que pour n = 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 , 14, 15, 24 et 35. Le tableau ci-dessous indique la valeur optimale de a pour n ≤ 10^[1],[2].

Nombre de carrés unités n	Longueur d'un côté du carré extérieur	Figure	Démonstration[3]
1	1		Immédiat
2	2		Frits Göbel - 1979
3	2		Frits Göbel - 1979
4	2		Immédiat
5	2 + 1/√2 ≈ 2,707		Frits Göbel - 1979
6	3		Michael Kearney et Peter Shiu - 2002
7	3		Erich Friedman - 1999
8	3		Erich Friedman - 1999
9	3		Immédiat
10	3 + 1/√2 ≈ 3,707		Walter Stromquist -1979

D'autres résultats qui ne permettent pas d'établir des empilements optimaux exacts sont connus. Par exemple :

• S'il est possible d'emballer n² − 2 carrés unitaires dans un carré du côté a, alors a ≥ n^[4].
• L'approche naïve dans laquelle tous les carrés sont parallèles aux axes de coordonnées et sont placés en contact bord à bord laisse un espace perdu de moins de a + 1 dans un carré du côté a^[1].
• L'espace gaspillé d'une solution optimale est asymptotiquement o(a^7/11) ((ici écrit en petite notation))^[5].
• Toutes les solutions doivent gaspiller de l'espace au moins Ω(a^1/2) pour certaines valeurs de a^[6]
• 11 carrés unitaires ne peuvent pas être emballés dans un carré de côté inférieur à ${\displaystyle 2+2{\sqrt {4/5}}\approx 3,789}$. En revanche, l'empilement le plus serré connu de 11 carrés se trouve à l'intérieur d'un carré de longueur approximative de 3,8772^[2].

Références

1. (en) Erich Friedman, Packing unit squares in squares: a survey and new results, 2009 (MR 1668055, lire en ligne).
2. (en) Walter Stromquist, Packing 10 or 11 unit squares in a square, vol. 10, 2003 (MR 2386538, lire en ligne).
3. Comment ranger au mieux des carrés, des cercles et autres formes ? Jean-Paul Delahaye, 26 décembre 2018, Pour la science, N° 495
4. (en) Michael J. Kearney et Peter Shiu, Efficient packing of unit squares in a square, vol. 9, 2002 (MR 1912796, lire en ligne).
5. (en) P. Erdős et R. L. Graham, On packing squares with equal squares, vol. 19, coll. « Series A », 1975, 119–123 p. (DOI 10.1016/0097-3165(75)90099-0, MR 0370368, lire en ligne).
6. (en) K. F. Roth et R. C. Vaughan, Inefficiency in packing squares with unit squares, vol. 24, coll. « Series A », 1978, 170–186 p. (DOI 10.1016/0097-3165(78)90005-5, MR 0487806).

Liens externes

• [vidéo] Mickaël Launay, « Comment ranger des chocolats dans une boîte (mathématiquement) ? », sur YouTube.