Eduard Wirsing

Eduard Wirsing

Biographie

Naissance	28 juin 1931 Berlin
Décès	22 mars 2022 (à 90 ans) Cologne
Nationalité	allemande
Formation	Université de Göttingen Université libre de Berlin
Activité	Mathématicien

Autres informations

A travaillé pour	Université de Marbourg Université d'Ulm
Directeur de thèse	Hans-Heinrich Ostmann (d)

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Eduard Wirsing, né le 28 juin 1931 à Berlin et mort le 22 mars 2022 à Cologne, est un mathématicien allemand, spécialiste de théorie analytique des nombres.

Biographie

Wirsing étudie à l’université de Göttingen et à l’université libre de Berlin^[1]. Il soutient en 1957 sous la direction de Hans-Heinrich Ostmann, une thèse intitulée « Über wesentliche Komponenten in der additiven Zahlentheorie » (Sur les composantes essentielles en théorie additive)^[2].

Après une habitation en 1959 à l'université de Brunswick^[3], Wirsing obtient un poste en 1961 à l’université de Marbourg et y devient professeur en 1969^[4]. Il fait aussi pendant cette période plusieurs séjours à l’étranger, en. particulier en 1967-1968, à l’université Cornell et en 1970-1971 à l'Institute for Advanced Study, à Princeton^[1]. À partir de 1974, Wirsing devient professeur à l'université d'Ulm. Il prend sa retraite en 1999, comme professeur émérite, mais continue ses recherches mathématiques^[4].

Travaux

Wirsing a consacré plusieurs articles aux bases additives, en lien avec sa thèse^[5]. Une base additive est un ensemble d’entiers tel que, pour un nombre k, tout entier positif peut s’écrire comme la somme d’au plus k nombres de la base. Par exemple, le théorème de Lagrange montre que les carrés forment une base additive d’ordre 4, puisque tout entier est une somme de 4 carrés. Par ailleurs, pour un ensemble A d’entiers positifs ou nuls, A(x) est le nombre d’éléments de A inférieurs ou égaux à x et ${\displaystyle \sigma (A)}$ la densité de Schnirelmann de A, c’est-à-dire la borne inférieure de ${\displaystyle {\frac {A(n)}{n}}}$ sur les entiers n. Tout ensemble avec une densité de Schnirelmann strictement positive est une base additive. Une composante essentielle est un ensemble W d’entiers tel que si ${\displaystyle \sigma (A)}$ existe, ${\displaystyle \sigma (A+W)>\sigma (A)}$.

Paul Erdös avait montré que toute base est une composante essentielle. En 1956, avec Alfred Stöhr, Wirsing a donné un exemple montrant que la réciproque est fausse, plus simple que le premier exemple donné par Yuri Linnik en 1942 ^[6].

Wirsing a aussi prouvé^[7] que pour toute base additive d’ordre k avec quelques conditions techniques, il existe une sous-base d’ordre k dont la fonction de comptage est d’ordre ${\displaystyle O((x\log x)^{\frac {1}{k}})}$.

En 1961, Wirsing a publié une étude importante sur l’existence de moyennes asymptotiques pour certaines classes de fonctions multiplicatives (c’est-à-dire de fonctions telles que f(mm’)=f(m) f(m’) si m et m’ sont deux entiers premiers entre eux)^[8],[5]. Il a ensuite amélioré ses résultats, ce qui lui a permis de démontrer une conjecture de Paul Erdős, selon laquelle une fonction multiplicative qui a deux valeurs seulement, 1 et -1 a une valeur moyenne^[9]. Une version effective de ses résultats a été donnée en 2017 par Gérald Tenenbaum^[10].

Dans les années 1960, Wirsing a prouvé une généralisation du théorème de Thue-Siegel-Roth pour les corps de nombres algébriques^{[11],[12],[13]}.

Soit ${\displaystyle \alpha }$ un nombre algébrique réel et un entier n positif, il y a un nombre fini de nombres algébriques ${\displaystyle \beta }$ de degré inférieur ou égal n (autrement dit solution d’une équation polynomiale irréductible à coefficients entiers de degré inférieur ou égal à n) tels que :

${\displaystyle \left|\alpha -\beta \right|<H(\beta )^{-(2n+\varepsilon )}}$ pour tout ${\displaystyle \varepsilon }$ positif aussi petit que l’on veut.

Ici ${\displaystyle H(\beta )}$ est la hauteur du nombre algébrique ${\displaystyle \beta }$, c’est-à-dire le maximum des valeurs absolues des coefficients du polynôme minimal sur ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dont ${\displaystyle \beta }$ est une racine.

Ce résultat est le théorème de Roth lorsque le degré d est 1, c’est-à-dire qu’on cherche à approcher ${\displaystyle \alpha }$ par des nombres ${\displaystyle \beta }$ rationnels. La version générale de Wirsing montre qu’un nombre réel algébrique ne peut pas être bien approché par des nombres algébriques de n’importe quel degré. L’exposant 2n a été amélioré en n+1 par Wolfgang M. Schmidt^[14].

Wirsing est aussi connu pour son travail sur la distribution de Gauss-Kuzmin. Il a donné des estimations de ${\displaystyle r_{n}(x)=m_{n}(x)-{\frac {\log(1+x)}{\log 2}}}$, où ${\displaystyle m_{n}(x)}$ est la mesure de Lebesgue de l’ensemble des nombres dans l’intervalle (0,1) dont le développement en fraction continue régulière ${\displaystyle [0;a_{1},a_{2},\ldots ]}$ est tel que ${\displaystyle [0;a_{n+1},a_{n+2},\ldots ]}$ est plus petit que x. C’est dans ce contexte qu’il a introduit et calculé une constante mathématique universelle, ${\displaystyle \lambda =0,303663029\ldots }$, maintenant appelée la constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing^{[15],[16],[17]}.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Eduard Wirsing » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Helmut Maier, Jörn Steuding et Rasa Steuding (éd.), Number Theory in Memory of Eduard Wirsing, Springer, 2023.
2. (en) « Eduard Wirsing », sur le site du Mathematics Genealogy Project.
3. (de) « Wirsing, Eduard », sur Hessische Biografie, 28 novembre 2023.
4. (de) Peter Pietschmann, « Emeritiert: Prof. Eduard Wirsing », sur Informationsdienst Wissenschaft:Nachrichten, Termine, Experte, 14 juillet 1999 (consulté le 30 mai 2024).
5. Schinzel et Schmidt 2006.
6. (de) Alfred Stöhr et Eduard Wirsing, « Beispiele von wesentlichen Komponenten, die keine Basis sind », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 196,‎ 1956, p. 96–98.
7. (en) Eduard Wirsing, « Thin subbases », Analysis, vol. 6,‎ 1986, p. 285-308.
8. Eduard Wirsing, « Das asymptotische Verhalten von Summen über multiplikative Functionen », Mathematische Annalen, vol. 143,‎ 1961, p. 7-103.
9. Maier, Steuding et Steuding 2023, p. 7-8.
10. Vilius Stakenas, « Tenenbaum, Gérald, Moyennes effectives de fonctions multiplicatives complexes », MathSciNet, n^o MR3723446,‎ janvier 2019.
11. (de) Eduard Wirsing, « Approximation mit algebraischen Zahlen beschränkten Grades », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 206,‎ 1960, p. 67–77
12. (en) Eduard Wirsing, « On approximations of algebraic numbers of bounded degree », dans 1969 Number Theory Institute, Providence, RI, American Mathematical Society, 1971, p. 213-247.
13. (en) Yann Bugeaud, Approximation by algebraic numbers, Cambridge University Press, 2004, ch. 2.
14. Maier, Steuding et Steuding 2023, p. 8-9.
15. (en) Eduard Wirsing, « On the theorem of Gauss-Kuzmin-Lévy and a Frobenius type theorem for function spaces », Acta Arithmetica, vol. 24,‎ 1973-1974, p. 507–528.
16. (en) Donald Knuth, The art of computer programming, vol. 2, Addison-Wesley, p. 363.
17. Eric Weisstein, « Gauss-Kuzmin Distribution », sur Mathworld.

Bibliographie

• (en) Andrzej Schinzel et Wolfgang M. Schmidt, « The mathematical work of Eduard Wirsing », Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici, vol. 35,‎ 2006, p. 7–18.

• (en) Helmut Maier, Jörn Steuding et Rasa Steuding (éd.), Number Theory in Memory of Eduard Wirsing, Springer, 2023.

• (de) Peter Pietschmann, « Emeritiert: Prof. Eduard Wirsing », sur Informationsdienst Wissenschaft:Nachrichten, Termine, Experte, 14 juillet 1999 (consulté le 30 mai 2024).

Liens externes

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