Welsh obtient son doctorat en philosophie à l'Université d'Oxford sous la direction de John Hammersley. Après avoir travaillé comme chercheur aux Laboratoires Bell, il rejoint le Mathematical Institute en 1963 et devient membre du Merton College d'Oxford en 1966. Il préside le British Combinatorial Committee de 1983 à 1987[2]. Welsh reçoit un siège à titre personnel en 1992 et prend sa retraite en 2005 [2]. Il a encadré 28 doctorants [4].
Welsh reçoit un doctorat honorifique de l'Université de Waterloo en 2006 [2].En 2007, Oxford University Press publie Combinatorics, Complexity, and Chance: A Tribute to Dominic Welsh, un volume édité d'articles de recherche consacrés à Welsch. L'estimation Russo-Seymour-Welsh dans la théorie de la percolation porte en partie le nom de Welsh.
