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Desnica a passé une grande partie de sa carrière au HNK Rijeka, apparaissant dans près de 300 matchs officiels. Son club a remporté deux coupes de Yougoslavie en 1978 et en 1979, a été éliminé en quart de finale de la Coupe d'Europe des vainqueurs de coupe en 1980 et a également été éliminé en deuxième tour en face de l'équipe Real madrid en Coupe UEFA en 1985 avec le score: 3-4. Lors du match retour contre le Real Madrid, Desnica, avec deux autres joueurs de son équipe, a reçu un carton rouge, entrainant la victoire du Real Madrid avec un score de 3-0[2].
En 1985, il a signé pour le club belge KV Courtrai. Il est ensuite retourné dans son pays après cinq ans, puis a rejoint NK Pazinka. Il se retire du monde du football à 36 ans en 1993.
Carrière internationale
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Pendant l'éliminatoires du championnat d'Europe de football 1980, Damir est sélectionné une seule fois dans l'équipe nationale de Yougoslavie en jouant contre l’équipe de Roumanie le . Son équipe a échoué avec le score 2-3 malgré son but et puis il est blessé[3]. Son équipe gagne la deuxième place du groupe 3 derrière l'Espagne, provoquant ainsi l'élimination de la Yougoslavie.